- Zahlen
- In der Mathematik werden verschiedene Zahlensysteme betrachtet. Manche
dieser Systeme - wiewohl nicht alle Details -
sind uns intuitiv leicht zugänglich, weil sie Zahlen
betreffen, mit denen wir zählen, mit deren Hilfe wir
''Beträge'' und ''Meßgrößen'' angeben, und die wir geometrisch deuten
können.
Siehe natürliche, ganze, rationale,
reelle, irrationale Zahlen
und Dezimaldarstellung.
Andere Zahlensysteme genügen formal denselben Rechenregeln
(siehe Addition, Multiplikation und
Distributivgesetz), sind unserer Vorstellung
aber schlechter zugänglich. Dennoch haben sie viele nützliche Anwendungen.
Siehe komplexe Zahlen und
Restklassen.
- Zahlengerade
- Eine geometrische Veranschaulichung der Menge der reellen Zahlen:
Man nehme eine Gerade, zeichne zwei Punkte darauf ein und bezeichne sie mit 0 und 1
(siehe untenstehendes Diagramm)!
Dann kann jede reelle Zahl als Punkt auf der Geraden dargestellt werden
(positive Zahlen als Punkte rechts von 0 und
negative Zahlen als Punkte links von 0).
Die Ordnung der reellen Zahlen
findet sich als lineare Ordnung auf der Geraden wieder:
So ist z.B. x <
y,
wenn x links von
y liegt.
Viele Eigenschaften der reellen Zahlen werden intuitiv klar, wenn man sich die Menge
R einfach als Zahlengerade vorstellt.
So ist z.B. die Aussage, die reellen Zahlen stellen eine ''eindimensionale'' Menge dar,
unmittelbar einleuchtend.
Eine (''zweidimensionale'') Verallgemeinerung der Zahlengerade
bildet die
Zeichenebene.
- Zahlenpaare, Zahlentripel und n-Tupel
-
Ein (geordnetes) Zahlenpaar besteht aus zwei Zahlen, einer ersten und
einer zweiten. Es wird entweder als
(x, y)
oder in der Vektor-Schreibweise
angegeben und als ein mathematisches Objekt behandelt
(siehe geordnetes Paar).
Die Zahlen x und y
heißen Komponenten.
Die Menge aller Paare aus reellen Zahlen wird als
R2 bezeichnet und geometrisch
als Ebene (Zeichenebene) gedeutet, in ähnlicher Weise wie
die Interpretation von R als
Zahlengerade.
Auch die komplexen Zahlen bilden eine Ebene, die so
beschrieben wird.
Analog können Zahlentripel
(x, y,
z)
und, ganz allgemein, n-Tupel
( x1,
x2, ...
xn ),
wobei
n Î
N,
betrachtet werden (die sich natürlich
auch in der Vektor-Schreibweise
|
|
æ
ç
ç
ç
ç
è
|
|
| |
ö
÷
÷
÷
÷
ø
|
bzw. |
æ
ç
ç
ç
ç
è
|
|
| |
ö
÷
÷
÷
÷
ø
|
|
| |
darstellen lassen).
Die Menge aller reellen Zahlentripel
heißt R3 und wird
geometrisch als dreidimensionaler Raum gedeutet.
Ganz allgemein wird die Menge aller reellen
n-Tupel als
Rn
bezeichnet und stellt einen n-dimensionalen Raum dar.
Mathematisch gesehen,
eröffnen diese Objekte die Möglichkeit, Räume beliebiger Dimension
zu definieren. Eine ''Vorstellung'' im bildlichen Sinn ist dazu gar nicht notwendig!
Siehe auch kartesisches Produkt.
- Zähler
- Siehe
Bruch.
- Zeichenebene
- wird eine mathematische Ebene genannt, wenn wir sie uns behelfsmäßig als Blatt
Papier vorstellen wollen. Wenn auf ihr ein
kartesisches Koordinatensystem gewählt wird,
ist die Position eines Punktes durch zwei reelle Zahlen
x und
y (die Koordinaten) eindeutig festgelegt.
Dadurch lassen sich Punkte mit Zahlenpaaren identifizieren. Jedem Punkt
der Ebene
entspricht genau ein Zahlenpaar, und jedem Zahlenpaar entspricht genau ein Punkt der Ebene:
Die Zeichenebene
kann daher als die Menge aller reellen Zahlenpaare angesehen werden.
Diese ist aber nichts anderes als das kartesische Produkt
der Menge R der reellen Zahlen mit sich selbst und
wird mit R2 bezeichnet:
R2 = R × R.
Die beiden Kopien von R kann man den beiden
Koordinaten-Achsen zuordnen: Jedes Element
der Menge R2 ist ein Paar
(x,
y). Die beiden darin vorkommenden
Zahlen sind genau die Koordinaten des Punktes, der dem Zahlenpaar
entspricht.
Jede der beiden Achsen kann übrigens als Zahlengerade aufgefaßt werden,
wodurch die Ebene als das (kartesische) Produkt der Zahlengerade mit
sich selbst interpretiert werden kann.
Auf diese Weise ist man von einem eindimensionalen Raum
(der Menge R =
der Zahlengeraden = einer Linie) zu einem zweidimensionalen Raum (der Ebene) gelangt. Man kann das
durchaus als
Definition der Ebene betrachten: Ausgehend von der Menge der reellen Zahlen
wird die Ebene als eine rein mathematische Konstruktion aus dieser gewonnen!
Wenn man die Dinge so sieht, ist
die geometrische Vorstellung "nur" mehr nützlich, aber nicht mehr
notwendig. Auf analoge Weise läßt sich zu höherdimensionalen Räumen
weiterschreiten.
Auf der Zeichenebene können auch andere
Koordinatensysteme nützliche Dienste leisten.
Aufgrund der oben beschriebenen Konstruktion hat aber das kartesische Koordinatensystem,
das im größten Teil der Schulmathematik verwendet wird,
eine bevorzugte ("natürliche")
Stellung.
- Zuordnung
-
Siehe
Funktion.
- Zusammenstellung
- der wichtigsten Symbole der Mengenlehre:
Î ist Element von
| für die gilt
Ç Durchschnittsmenge
È Vereinigungsmenge
Í ist Teilmenge von
Ê ist Obermenge von
\ Komplementärmenge
$ es existiert ein
" für alle, für jedes
|
|
