R


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  R  
Rationale Zahlen
sind jene reellen Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben lassen. Daher werden sie oft auch als Bruchzahlen bezeichnet: Jede rationale Zahl ist von der Form m/n, wobei m und n ganze Zahlen sind.
Es läßt sich zeigen, daß die rationalen Zahlen genau jene reellen Zahlen sind, deren Dezimaldarstellung abbricht (d.h. von einer bestimmten Stelle an nur Nullen aufweist) oder periodisch ist (d.h. von einer bestimmten Stelle an aus einer immer wiederholten Zifferngruppe besteht).
Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.
Es gibt sehr viele rationale Zahlen: Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen (d.h. Punkten auf der Zahlengeraden) liegen unendlich viele rationale Zahlen. Daher wird die Menge Q als ''dicht'' bezeichnet. Dennoch gibt es sehr viel mehr reelle Zahlen als rationale: Die Menge Q ist abzählbar, d.h. ihre Elemente können ''durchnumeriert'' werden, im Gegensatz zur Menge R der reellen Zahlen. Da die Menge Q die Zahlengerade nicht ''ganz ausfüllt'', wird sie als ''nicht-vollständig'' bezeichnet.

Reelle Zahlen
sind Dezimalzahlen mit beliebiger Dezimaldarstellung. Diese Zahlen bilden einen der Grundpfeiler der modernen Mathematik. Auch die meisten der im Unterrichtsstoff auftretenden Zahlen sind von diesem Typ, und die Lösung vieler Problemstellungen muß ihre Eigenschaften berücksichtigen.
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller positiven reellen Zahlen mit R+ und die Menge aller nicht-negativen reellen Zahlen mit R0+.
Auf der Menge der reellen Zahlen sind die Operationen Addition und Multiplikation definiert, aus denen sich Subtraktion und Division ergeben (siehe auch Kehrwert und Division durch 0). Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz (Klammern auflösen) miteinander verbunden.
Geometrisch werden reelle Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden gedeutet. Zusammenhängende Teilmengen von R, d.h. der Zahlengerade, heißen Intervalle. Die Menge R wird von MathematikerInnen als vollständig bezeichnet, da sie (im Gegensatz zu der Menge der rationalen Zahlen) die Zahlengerade "ganz ausfüllt".
Die Menge R ist so groß, daß ihre Elemente nicht ''durchnumeriert'' werden können. Daher heißt sie überabzählbar.
Eine immer wiederkehrende wichtige Eigenschaft von R ist, daß das Quadrat jeder reellen Zahl nicht-negativ ist. Daher besitzen Quadratische Gleichungen (und auch Gleichungen höherer Ordnung) über R nicht immer Lösungen (wie z.B. die Gleichung x2 = - 1). Eine wichtige Zahlenmenge, die die reellen Zahlen verallgemeinert, und in der Quadrate auch negativ sein können, sind die komplexen Zahlen.
In manchen Texten werden die reellen Zahlen nicht von Beginn an als Dezimalzahlen eingeführt, sondern aus der kleineren Menge der rationalen Zahlen konstruiert. Wenn Sie in Lehrbüchern die Begriffe "Intervallschachtelung" und "Dedekind'sche Schnitte" lesen, so dienen sie zumeist diesem Zweck. Wir gehen hier nicht näher darauf ein.
Wichtige Teilmengen von R sind die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen.

Relativ prim
Siehe teilerfremd.

Rest
Seien n und k zwei natürliche Zahlen. Versucht man, n durch k zu dividieren, so stößt man auf folgende Struktur:
Es gibt immer zwei (eindeutig bestimmte) Zahlen m, r Î N mit 0 £ r < k, sodaß
      n = k m + r.
Die Zahl r heißt Rest. Ist r = 0, so ist der Quotient n/k genau m, also eine natürliche Zahl. Andernfalls ist r gerade der ''Rest'', der Ihnen bei händischer Division ''übrigbleibt''. Das Vorhandensein eines von 0 verschiedenen Rests ist dafür verantwortlich, daß k kein Teiler von n ist (oder, m.a.W., daß n kein Vielfaches von k ist).
Das Konzept des Rests kann auf den Fall ausgedehnt werden, daß n negativ ist. Dann darf auch m negativ sein, doch es ist eine sinnvolle Konvention, vom Rest r nach wie vor 0 £ r < k zu verlangen.

Restklassen
Sei p eine natürliche Zahl. Man kann - ohne in Widersprüche zu geraten - beim Addieren und Multiplizieren von ganzen Zahlen jede auftretende Zahl durch den Rest, der sich bei Division durch p ergibt, ersetzen.
Ist etwa p = 3, so wird nicht mehr zwischen 2 und 5 unterschieden! Das kann auch in der Form 5 = 2 mod(3) (gesprochen: ''5 ist gleich 2 modulo 3'') ausgedrückt werden. Unter diesem Gesichtspunkt gibt es nur drei verschiedene Zahlen, nämlich 0, 1 und 2, (denn bereits 3 wird mit 0 identifiziert, 4 mit 1 usw). Diese drei Objekte heißen Restklassen modulo 3. Tatsächlich steht 0 nicht nur für die Zahl 0, sondern für alle ganzzahligen Vielfachen von 3 (1 steht für alle ganzen Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 ergeben, und 2 steht für alle ganzen Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 ergeben). Daher heißen sie ''Klassen''. Die Menge der Restklassen modulo 3 hat also 3 Elemente und wird als Z3 bezeichnet.
Genau dasselbe kann mit jeder natürlichen Zahl p gemacht werden, was zur Menge Zp der Restklassen modulo p führt.
Falls p eine Primzahl ist, kann innerhalb dieser Menge sogar dividiert werden. (Sie hat dann die Struktur eines Körpers).

Reziproker Wert
Siehe Kehrwert.


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