- Rationale Zahlen
- sind jene reellen Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben
lassen. Daher werden sie oft auch als Bruchzahlen bezeichnet: Jede rationale
Zahl ist von der Form
m/n,
wobei m und n
ganze Zahlen sind.
Es läßt sich zeigen, daß die rationalen Zahlen genau jene
reellen Zahlen sind, deren Dezimaldarstellung
abbricht (d.h. von einer bestimmten Stelle an nur Nullen aufweist) oder
periodisch ist (d.h. von einer bestimmten Stelle an aus einer immer wiederholten
Zifferngruppe besteht).
Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.
Es gibt sehr viele rationale Zahlen: Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen
(d.h. Punkten auf der Zahlengeraden) liegen unendlich viele rationale Zahlen. Daher
wird die Menge Q als ''dicht'' bezeichnet.
Dennoch gibt es sehr viel mehr reelle Zahlen als rationale: Die Menge
Q ist abzählbar,
d.h. ihre Elemente können ''durchnumeriert'' werden, im Gegensatz zur
Menge R der reellen Zahlen.
Da die Menge Q die Zahlengerade
nicht ''ganz ausfüllt'', wird sie als ''nicht-vollständig''
bezeichnet.
- Reelle Zahlen
- sind Dezimalzahlen mit beliebiger Dezimaldarstellung.
Diese Zahlen bilden einen der Grundpfeiler der modernen Mathematik.
Auch die meisten der im Unterrichtsstoff auftretenden Zahlen sind von diesem Typ,
und die Lösung vieler Problemstellungen muß ihre Eigenschaften berücksichtigen.
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet,
die Menge aller positiven reellen Zahlen mit
R+ und die Menge aller nicht-negativen
reellen Zahlen mit R0+.
Auf der Menge der reellen Zahlen sind die Operationen Addition und
Multiplikation definiert, aus denen sich Subtraktion
und Division
ergeben (siehe auch Kehrwert und Division durch 0).
Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz
(Klammern auflösen) miteinander verbunden.
Geometrisch werden reelle Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden
gedeutet.
Zusammenhängende Teilmengen von R,
d.h. der Zahlengerade, heißen Intervalle.
Die Menge R wird von MathematikerInnen als
vollständig bezeichnet, da sie (im Gegensatz zu der Menge der rationalen Zahlen)
die Zahlengerade "ganz ausfüllt".
Die Menge R ist so groß, daß ihre
Elemente nicht ''durchnumeriert'' werden können. Daher heißt sie
überabzählbar.
Eine immer wiederkehrende wichtige Eigenschaft von
R ist, daß
das Quadrat jeder reellen Zahl nicht-negativ ist. Daher besitzen
Quadratische Gleichungen (und auch Gleichungen
höherer Ordnung) über
R nicht immer Lösungen
(wie z.B. die Gleichung x2 = - 1).
Eine wichtige Zahlenmenge, die die reellen Zahlen verallgemeinert, und in der
Quadrate auch negativ sein können,
sind die komplexen Zahlen.
In manchen Texten werden die reellen Zahlen nicht von Beginn an als Dezimalzahlen
eingeführt, sondern aus der kleineren Menge der rationalen Zahlen konstruiert.
Wenn Sie in Lehrbüchern die Begriffe
"Intervallschachtelung" und "Dedekind'sche Schnitte"
lesen, so dienen sie zumeist diesem Zweck.
Wir gehen hier nicht näher darauf ein.
Wichtige Teilmengen von R
sind die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen,
die rationalen Zahlen und die
irrationalen Zahlen.
- Relativ prim
- Siehe
teilerfremd.
- Rest
-
Seien n und k
zwei natürliche Zahlen. Versucht man,
n durch k
zu dividieren, so stößt man auf folgende Struktur:
Es gibt immer zwei (eindeutig bestimmte) Zahlen
m, r Î N mit
0 £ r < k, sodaß
n =
k m +
r.
Die Zahl r heißt Rest.
Ist r = 0, so ist der Quotient
n/k
genau m, also eine natürliche Zahl.
Andernfalls ist
r gerade der ''Rest'', der
Ihnen bei händischer Division ''übrigbleibt''.
Das Vorhandensein
eines von 0 verschiedenen Rests ist dafür verantwortlich, daß
k kein
Teiler von n ist
(oder, m.a.W., daß
n kein
Vielfaches von k ist).
Das Konzept des Rests kann auf den Fall ausgedehnt werden, daß
n negativ ist.
Dann darf auch m negativ sein,
doch es ist eine sinnvolle Konvention, vom Rest r
nach wie vor 0 £ r < k
zu
verlangen.
- Restklassen
- Sei p eine natürliche Zahl.
Man kann - ohne in Widersprüche zu geraten - beim
Addieren und Multiplizieren
von ganzen Zahlen jede auftretende Zahl durch den Rest,
der sich bei Division durch p ergibt,
ersetzen.
Ist etwa p = 3,
so wird nicht mehr zwischen 2 und 5 unterschieden!
Das kann auch in der Form 5 = 2 mod(3) (gesprochen: ''5 ist gleich 2 modulo 3'') ausgedrückt werden.
Unter diesem Gesichtspunkt gibt es nur drei verschiedene Zahlen, nämlich 0, 1 und 2,
(denn bereits 3 wird mit 0 identifiziert, 4 mit 1 usw).
Diese drei Objekte heißen Restklassen modulo 3.
Tatsächlich steht 0 nicht nur für die Zahl 0, sondern für alle ganzzahligen
Vielfachen von 3 (1 steht für alle ganzen
Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 ergeben, und 2 steht für alle ganzen
Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 ergeben). Daher heißen sie ''Klassen''.
Die Menge der Restklassen modulo 3 hat also 3 Elemente und wird als
Z3 bezeichnet.
Genau dasselbe kann mit jeder natürlichen Zahl p
gemacht werden, was zur Menge
Zp
der Restklassen modulo p
führt.
Falls p eine
Primzahl ist, kann innerhalb dieser Menge sogar
dividiert werden. (Sie hat dann die Struktur
eines Körpers).
- Reziproker Wert
-
Siehe Kehrwert.
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