- Identische Funktion
- heißt jene Funktion, die jeden Wert der unabhängigen Variablen
auf sich selbst abbildet:
x ®
x.
Sie heißt identisch, weil ihre Wirkung
jeden x-Wert gleichläßt, d.h. weil sie
"nichts
verändert".
- Identität
- Eine Identität liegt vor, wenn zwei
Terme, die von einer oder mehreren
Variablen abhängen, für alle Werte dieser Variablen dieselben Werte annehmen.
Anders ausgedrückt ist eine Identität eine
Gleichung, die immer - d.h. für alle Werte der
Variablen - eine wahre Aussage darstellt.
(In der Logistik wird eine solche Aussage auch Tautologie genannt).
Terme, zwischen denen Identitäten bestehen, sind gewissenmaßen dieselbe
Sache, nur jeweils anders angeschrieben. In diesem Sinn sind Identitäten
einfach Rechenregeln.
Beispiel:
(a +
b)2 =
a2 + 2
a b +
b2
Meistens dürfen die Variablen beliebige reelle Werte annehmen,
jedoch sind auch Identitäten für andere Zahlenmengen
möglich.
Beispiel:
1/(1/x) = x
ist eine Identität über der Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen.
Beispiel:
(n + 1)! = (n+1) n!
ist eine Identität über der Menge der
natürlichen Zahlen
(für die Bedeutung der Rufzeichen siehe
Faktorielle).
- Induktionsbeweis
- oder Beweis durch vollständige Induktion ist eine Beweismethode,
die mit der Struktur der natürlichen Zahlen zusammenhängt.
Falls für jede natürliche Zahl n
eine Aussage An
definiert ist (von denen jede zunächst wahr oder falsch sein kann), so
ist der Satz
''An
ist wahr für alle
n Î N''
bewiesen, wenn es gelingt, Folgendes zu zeigen:
-
A1 ist
wahr (Induktionsanfang).
- Aus der (versuchsweise angenommenen) Richtigkeit von
An
(Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung)
kann auf die Richtigkeit von
An+1
geschlossen werden (Induktionsschluß).
Es folgt also, daß auch A2
wahr ist, und daraus, daß A3
wahr ist
usw.
- Injektiv
- heißt eine Funktion
f :
A ®
B, die jedes Element der Menge
B höchstens einmal trifft.
Eine solche Funktion heißt auch Injektion.
Injektive Funktionen können dadurch charakterisiert werden,
daß zwei verschiedene
x-Werte immer auch verschiedene
Funktionswerte haben. In Formeln bedeutet das: Aus
x1 ¹
x2
folgt
f (x1)
¹
f (x2).
- Intervalle
- sind Teilmengen der Menge der reellen Zahlen, die, in der
Deutung von R als
Zahlengerade, zusammenhängend sind.
Man bezeichnet sie mit Klammern ( ) [ ] und unterscheidet offene Intervalle
(wenn die Randpunkte nicht dazugehören), z.B.
(-1, 2) = { x Î R | -1 < x < 2 },
abgeschlossene Intervalle (wenn die Randpunkte dazugehören), z.B.
[-1, 2] = { x Î R | -1 £ x £ 2 }
und halboffene Intervalle wie
(-1, 2] = { x Î R | -1 < x £ 2 }.
Intervalle können nach oben oder nach unten unbeschränkt sein, wie z.B.
R+ = (0,¥)
und
R0+ = [0,¥),
wobei ¥ das Symbol für ''unendlich''
ist.
- Irrationale Zahlen
- sind jene reellen Zahlen, die nicht rational sind,
d.h die sich nicht als Bruch ''ganze Zahl/ganze Zahl'' schreiben lassen.
Es sind dies genau jene reellen Zahlen, deren Dezimaldarstellung
weder abbricht noch periodisch ist.
Die Menge aller irrationalen Zahlen ist so ''groß'', daß sie sich nicht
''durchnumerieren'' läßt. Sie ist (im Gegensatz zur Menge der
rationalen Zahlen) überabzählbar.
Die rationalen Zahlen, mit denen man es in der Praxis so oft zu tun hat,
und die in so vielen Rechenaufgaben vorkommen, bilden
genau genommen nur eine verschwindende Minderheit!
Beispiele für irrationale Zahlen sind jene Quadratwurzeln aus
natürlichen Zahlen, die selbst keine
natürlichen Zahlen sind
(also Ö2, Ö3, Ö5 ...,
siehe
Irrationalität von Ö2)
sowie die transzendenten Zahlen
p und
e.
- Irrationalität von Ö2
- Es ist nun seit mehr als zweitausend Jahren bekannt, daß die Diagonale des
Quadrats in keinem ''rationalen Verhältnis'' zur Seitenlänge steht, d.h. daß
der Quotient Diagonale/Seitenlänge keine rationale Zahl ist.
Diese Erkenntnis geht wahrscheinlich auf die Pythogoräer des fünften vorchristlichen
Jahrhunderts zurück und dürfte damals eine der ersten
Grundlagenkrisen der Mathematik ausgelöst haben.
Der Quotient Diagonale/Seitenlänge im Quadrat ist gerade Ö2.
Hinter dem trocken klingenden Satz
''Ö2 ist eine irrationale Zahl''
steckt also mehr Geistesgeschichte, als man zunächst annehmen möchte.
Erst nach dieser Erkenntnis war der Weg frei zur langsamen Herausbildung des
Begriffs der
reellen Zahlen.
- Isomorph
- ist ein Begriff für die Verwandtschaft zwischen Mengen und Strukturen,
der viele Bedeutungen hat.
In seiner einfachsten Variante ist er
gleichbedeutend mit gleichmächtig.
Man könnte ihn
etwa mit
"ununterscheidbar, wenn durch eine bestimmte Brille betrachtet" oder
"gleich hinsichtlich einer bestimmten Struktur" wiedergeben.
So sind z.B. hinsichtlich der linearen Struktur zwei beliebige
Vektorräume derselben
Dimension zueinander isomorph.
Das mathematische Symbol für Isomorphie ist @.
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