Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein
Kapitel der Mathematischen Hintergründe.
Grün geschriebene Begriffe haben noch keine Eintragung.
kurz Betrag genannt.
Beim Bilden des Betrags bleiben positive reelle Zahlen und die Null unverändert,
bei negativen reelle Zahlen wird das Vorzeichen auf + umgestellt.
Beispiele:
|3| = 3,
|0| = 0,
|-3| = 3.
Der Absolutbetrag
der Zahl x wird als
|x|
bezeichnet, und es ist immer
|x| ³ 0.
Weiters gilt
|-x| = |x|
und
|x| = 0 Û x = 0 .
Der Absolutbetrag einer Differenz,
|x -
y|,
stellt den ''Abstand'' auf der
Zahlengeraden dar. Ist diese Größe
klein, so liegen
x und y
auf der Zahlengeraden nahe beieinander.
Diese Struktur ist wichtig, wenn es es um Zahlen geht, die ''einander immer näher kommen'',
z.B. beim Studium von Folgen und
beim Begriff der Stetigkeit von
Funktionen.
heißt eine Menge mit unendlich vielen Elementen,
wenn sie sich ''durchnumerieren'' läßt.
(Genauer ausgedrückt heißt das, daß es eine
bijektive Funktion von der Menge der
natürlichen Zahlen in die gegebene Menge gibt.
Das ist genau dann der Fall, wenn diese Menge zur Menge der natürlichen Zahlen
gleichmächtig ist).
Beispiele für abzählbare Mengen sind, neben den natürlichen Zahlen, die
Menge N0,
die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der
rationalen Zahlen.
Nicht abzählbar (überabzählbar)
sind die Menge der
reellen Zahlen und die Menge der
irrationalen Zahlen.
Zwei Zahlenx,
y
können addiert werden,
und die Summex + y
ist wieder reelle Zahl.
x und y
heißen Summanden.
Für zwei Zahlen gilt
x + y
= y + x,
was als Kommutativgesetz der Addition bezeichnet wird.
Werden mehrere Zahlen addiert, so gilt
(x + y) +
z =
x + (y +
z), das
Assoziativgesetz der Addition.
Von der Addition leitet sich die
Subtraktion her. Mir der Multiplikation
ist die Addition durch das Distributivgesetz
verbunden.
Die Addition kann ganz innerhalb der kleineren Mengen
der natürlichen, der ganzen, der
rationalen und der reellen Zahlen
ausgeführt werden.
Auch andere Mengen, wie die der komplexen Zahlen
oder der Restklassen,
besitzen eine Operation, die als ''Addition'' bezeichnet
wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln
genügt.
Umformung einer Gleichung,
die
- beide Seiten (die linke und die rechte) derselben
Operation unterwirft und
- rückgängig gemacht werden kann.
Die wichtigsten Typen:
- Zu beiden Seiten wird derselbe Term addiert.
- Beide Seiten werden mit demselben
(von Null verschiedenen) Term multipliziert.
Gleichungen, die durch Äquivalenzumformungen
auseinander hervorgehen, heißen (zueinander) äquivalent.
Äquivalente Gleichungen haben dieselbe Lösungsmenge.
Daher kann die Anwendung dieser Art von Umformungen in vielen Fällen
dazu benützt werden,
Gleichungen zu vereinfachen und schließlich ihre Lösungen zu
ermitteln.
