- Definitionsbereich
-
Ist f :
A ®
B eine Funktion,
d.h. eine Zuordnung von der Menge A in die Menge
B,
so heißt die Menge A
ihr Definitionsbereich.
Ist f durch einen Term in einer Variablen
x
gegeben (siehe Termdarstellung),
so darf A nur solche
x-Werte enthalten,
für die der Term einen Sinn macht, d.h. wohldefiniert ist.
So darf zum Beispiel der Definitionsbereich für die Funktion
x ®
1/x die Zahl 0 nicht enthalten.
Als ihr Definitionsbereich kann daher
(im Rahmen der rellen Zahlen) die Menge der von Null verschiedenen
reellen Zahlen (oder eine Teilmenge davon)
gewählt werden.
- Definitionsmenge
- Die Menge aller Elemente der zu einer Gleichung
gegebenen Grundmenge, für die beide Seiten der
Gleichung einen Sinn machen, d.h. mathematisch wohldefiniert sind.
Wird üblicherweise mit D bezeichnet.
So kann es beispielsweise bei
Bruchgleichungen passieren, daß
für manche Werte der Variablen eine Division durch Null auftritt.
Bei Wurzelgleichungen über der
Grundmenge der reellen Zahlen kann es passieren, daß
für manche Werte der Variablen die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen ist.
Werte, die derartige Probleme machen,
sind aus der Grundmenge herauszunehmen, um D
zu erhalten.
Da jede Lösung einer Gleichung in der Definitionsmenge liegt
(ansonsten könnte sie die Gleichung nicht zu einer wahren Aussage machen), ist
beim weiteren Vorgehen nur mehr sie zu beachten. Sie tritt an die
Stelle der ursprünglich
gegebene Grundmenge (die nun getrost vergessen werden
kann).
- Dezimaldarstellung
- Darstellung einer reellen Zahl durch eine
(möglicherweise nicht-abbrechende) Abfolge von Ziffern, einen Dezimalpunkt ("Komma")
und ein Vorzeichen. Die Bedeutung der Ziffernfolge ist aus dem Beispiel
657.234... = 6 × 100 + 5 × 10 + 7 + 2/10 + 3/100
+ 4/1000 + ...
oder, in der modernen Potenzschreibweise,
657.234... = 6 × 102 + 5 × 101 + 7 × 10 0
+ 2 × 10 -1 + 3 × 10 -2
+ 4 × 10 -3 + ...
ersichtlich.
Die rationalen Zahlen (Zahlen, die als Brüche
"ganze Zahl/ganze Zahl" geschrieben werden können) sind genau jene reellen Zahlen, deren
Dezimaldarstellung entweder abbricht (d.h. ab irgendeiner Stelle nur aus Nullen besteht) oder
periodisch ist (d.h. ab irgendeiner Stelle nur mehr eine sich wiederholende Ziffernfolge
aufweist).
Beispiele: 33/25 = 1.32 = 1.320000000... ist eine abbrechende,
12/7 = 1.7142857142857142... eine periodische Dezimalzahl.
Reelle Zahlen, für die das nicht der Fall ist, heißen
irrationale Zahlen (wie z.B.
Ö2 = 1.414213562373095...
oder p = 3.141592653589793...).
Kleine Subtitität: Die Dezimaldarstellung ist nicht ganz eindeutig. So kann etwa
die Zahl 1 auch als 0.9999999... geschrieben werden, die Zahl 0.43 als
0.42999999...
Diese Mehrdeutigkeit betrifft aber nur den Fall,
daß ab irgendeiner Stelle nur Neuner auftreten.
- Dezimalzahlen
- Siehe reelle Zahlen und Dezimaldarstellung.
- Differenz
- Siehe Subtraktion.
- Dimensionsbehaftete Größen
- Siehe Einheiten.
- Dimensionslose Größen
- Siehe Einheiten.
- Diophantische Gleichungen
- werden Gleichungen genannt,
für die nur ganzzahlige
Lösungen gesucht werden, d.h. als deren
Grundmenge die Menge der ganzen Zahlen betrachtet wird.
Ein bißchen schlampig werden auch Gleichungsysteme,
für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden, mit demselben Namen
bezeichnet.
Beispiel:
Gibt es ganze Zahlen x,
y, z,
für die
x2 +
y2 =
z2 ist? Außer dem trivialen Fall, daß eine
der drei Zahlen Null ist, gibt es noch unendlich viele Lösungen, z.B.
x = 3,
y = 4,
z = 5. Jede solche Lösung entspricht
- gemäß dem Pythagoräischen Lehrsatz -
einem rechtwinkeligen Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen, wird daher auch
"Pythagoräisches Zahlentripel" genannt.
Demgegenüber hat das Gleichungssystem
xn +
yn =
zn,
wobei
n eine ganze Zahl > 2 ist,
keine Lösung, für die
x,
y und z
ganzzahlig und von Null verschieden wären. Das ist der Inhalt des berühmten
"großen Fermat'schen Satzes",
der von Pierre Fermat im 17. Jahrhundert formuliert,
aber erst vor wenigen Jahren bewiesen
wurde.
- Disjunkt
- heißen zwei Mengen A und B, die keine gemeinsamen Elemente besitzen.
Dies ist der Fall, wenn
d.h. wenn ihre Durchschnittsmenge
die leere Menge ist (kurz ausgedrückt:
wenn ihr Durchschnitt leer
ist).
- Distributivgesetz
- auch Klammern ausmultiplizieren oder
Klammern auflösen genannt, ist die Rechenregel, die zeigt,
wie die Addition und die Multiplikation
miteinander verwoben sind. Für beliebige
Zahlen
x, y,
z gilt:
x ( y +
z ) =
x y +
x z.
Der Name kommt daher, daß sich die Multiplikation über die
Summe
''verteilt''.
- Division
-
ist in gewisser Hinsicht die ''Umkehrung'' der Multiplikation.
Der Quotient
x/y
( oder x/y)
ist definiert als die Antwort auf die Frage
''y ×
wieviel =
x?''
Diese Frage hat nur dann eine eindeutige Antwort, wenn
y ¹ 0
ist.
Jede Division stellt einen Bruch dar, und die Bedingung
y ¹ 0
bedeutet, daß der Nenner von 0 verschieden sein muß
(siehe Division durch 0).
Die Division (mit Nenner ¹ 0)
kann vollständig innerhalb der
Mengen der reellen,
rationalen, und komplexen
Zahlen ausgeführt werden - welche Körper genannt werden -,
führt jedoch aus den Mengen der
ganzen und der
natürlichen Zahlen heraus.
Aufgrund der Identität
kann jeder Quotient auch als Produkt geschrieben werden, wobei
der 1/y
der Kehrwert von
y
ist.
- Division durch 0
- Wird versucht, eine Zahl x durch 0 zu
dividieren, also den Quotienten
x/0
zu berechnen, so ist die Frage
'' 0 × wieviel = x?''
zu beantworten. Falls
x ¹ 0 ist,
hat die Frage überhaupt keine Antwort. Falls
x = 0 ist, ist jede Zahl eine mögliche Antwort.
Dies zeigt, daß die Division durch 0 schlicht und einfach
nicht definiert, also eine mathematisch sinnlose Sache ist.
Auch die heuristische Frage ''Wie oft paßt 0 in
x?'' führt hier nicht weiter
(außer, daß sie zu der intuitiven Vorstellung führt,
1/0 habe etwas mit
''Unendlich'' oder ''minus Unendlich'' zu tun,
und
0/0 sei völlig ''unbestimmt'').
- Durchschnittsmenge
-
Sind A und B
zwei Mengen,
so ist die Durchschnittsmenge (kurz: der Durchschnitt)
A Ç B die Menge aller Elemente, die sowohl in
A als auch in B liegen:
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A Ç B = { x | x Î A und x Î B }. |
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Sie ist die Zusammenfassung aller gemeinsamen Elemente von A
und B.
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