- Faktor
- Siehe
Multiplikation.
- Faktorielle
-
Ist n eine
natürliche Zahl, so ist
"n Faktorielle"
(geschrieben mit einem Rufzeichen als n! )
das Produkt aller natürlichen Zahlen, die kleiner-gleich
n sind:
|
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1. |
|
So ist beispielsweise 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6 und 4! = 24.
Die Berechnung kann dank der Identität
schrittweise auf die jeweils vorhergehende Zahl zurückgeführt werden. Es ist zweckmäß,
0! = 1 zu
definieren.
Eine altmodische Bezeichnung für Faktorielle, die sich noch hin und wieder
findet, ist "Fakultät".
- Fakultät
- Siehe
Faktorielle.
- Formel
-
Der Begriff der Formel ist ein bißchen unscharf.
Oft wird darunter ein Term verstanden,
der irgendeine Größe durch andere Größen darstellt.
(Es liegt dann eine Formel für diese
Größe vor). Manchmal werden aber
auch ganz allgemein mathematische Aussagen, in denen Terme vorkommen
(wie z.B. Identitäten
oder Termdarstellungen von Funktionen) als Formeln
bezeichnet.
Im Begriff der Formel schwingt die Idee eines gebrauchsfertigen "Kochrezepts" mit, zu dessen
Anwendung es keiner tieferen Kenntnisse der Mathematik bedarf - im Gegensatz
zur Gleichung, die zu lösen
mitunter auf verzwickte
Probleme führen kann.
- Funktion
-
Eine Funktion (auch Abbildung genannt) ist eine Zuordnung
(oder Zuordnungs-Vorschrift).
Sind A und B
zwei Mengen, so ist eine "Funktion
von A
nach B"
(oder: "von der Menge A in die Menge
B") eine Vorschrift,
die jedem Element von A in eindeutiger Weise
ein Element von B zuordnet.
Um auszudrücken, daß f
eine solche Zuordnung ist, wird
geschrieben. Ist
x Î
A, so wird das zugeordnete Element
der Menge B als
f (x)
geschrieben (sprich:"f von x")
und heißt Funktionswert (an der Stelle
x). Eine andere Schreibweise dafür ist
f : x
®
f (x).
Das Symbol x heißt
Variable (auch unabhängige Variable oder Argument genannt).
In vielen uns interessierenden Fällen sind die Mengen
A
und B entweder gleich der Menge der
reellen Zahlen oder Teilmengen davon. Funktionen dieses Typs drücken die
Abhängigkeit einer reellen Größe von einer anderen aus.
In diesem Fall sprechen wir von Funktionen in einer Variablen.
Hängt eine Größe
von mehreren anderen Größen ab, so definiert diese Situation eine
Funktion in mehreren Variablen, und die Menge
A besteht aus Kombinationen von reellen Zahlen
(z.B. aus Zahlenpaaren).
Wir stellen Ihnen zwei Einstiegshilfen zur Verfügung, die Sie als Abschnitte des
Kapitels Funktionen 1 der Mathematischen Hintergründe
wiederfinden können:
Funktionen können graphisch dargestellt (gleichsam in Bilder verwandelt) werden
(siehe Funktionsgraph).
Weitere wichtige mit dem Begriff der Funktion verbundene Stichworte sind
Definitionsbereich,
Wertebereich,
Termdarstellung,
Nullstelle,
injektiv,
surjektiv,
bijektiv,
Monotonie und
Wertetabelle
- Funktion dritter Ordnung
- auch kubische Funktion genannt,
ist eine Funktion, deren
Termdarstellung ein Polynom
dritter Ordnung ist:
x ®
a x3 +
b x2 +
c x + d,
wobei die Koeffizienten a
(¹ 0), b,
c
und d
fix vorgegeben
sind.
- Funktion erster Ordnung
- ist eine Funktion, deren
Termdarstellung ein Polynom
erster Ordnung ist:
x ®
k x + d,
wobei die Koeffizienten k
(¹ 0)
und d
fix vorgegeben sind. Die Graphen dieser Funktionen sind
Geraden.
Funktionen erster Ordnung werden manchmal als lineare
Funktionen bezeichnet.
- Funktionsausdruck
- Siehe
Termdarstellung.
- Funktionsgleichung
- Siehe
Termdarstellung.
- Funktionsgraph
- Ist f :
A ®
B eine Funktion,
d.h. eine Zuordnung von der Menge A in die Menge
B,
so ist ihr Graph die Menge aller geordneten Paare
der Form (x,
f(x)),
für die
x Î
A ist.
Sind die Mengen A
und B
gleich der Menge R der reellen Zahlen, so
ist er in der Mengenschreibweise durch
oder, anders angeschrieben, durch
|
{ (x, y) Î R2 | y = f (x) } |
|
gegeben. Die zweite Version besagt: der Graph ist die Lösungsmenge der "Funktionsgleichung"
y =
f (x)
(welche eine Gleichung in zwei Variablen x und y
ist, siehe auch Termdarstellung)
über der Grundmenge R2.
(Für die Bedeutung der Schreibweise R2
siehe kartesisches Produkt).
Da die Menge R2 als
Zeichenebene interpretiert werden kann, ist der Graph
von f eine Teilmenge derselben. In einem
xy-Koordinatensystem
wird zu jedem frei
gewählten x der zugehörige
Funktionswert f (x)
als y-Wert aufgetragen.
Dadurch entsteht eine graphische Darstellung der Wirkungsweise der Funktion.
Oft (aber nicht immer) handelt es
sich dabei um Kurven, und in der Mehrzahl der
uns interessierenden Fälle sind diese Kurven "glatt", d.h. sie haben keine
Ecken.
Jeder solcherart eingezeichnete Punkt mit Koordinaten (x,
f(x))
entspricht einer Zeile in einer Wertetabelle.
Ist die Menge A (der Definitionsbereich von
f )
eine Teilmenge von R, so sind die
x-Werte entsprechend einzuschränken.
Entsteht A
aus R durch Wegnahme eines einzelnen Punktes,
so zerfällt der Graph in zwei getrennte "Äste" (wie es beispielsweise
bei der Funktion
x ®
1/x der Fall ist).
- Funktions-Plotter
- Ein nützliches Werkzeug für den täglichen Gebrauch, um
Graphen von Funktionen darzustellen und zu analysieren,
sowie Gleichungen numerisch zu lösen.
- Funktionswert
- Ist f :
A ®
B eine Funktion,
so wird jedem Element
x Î
A
ein Element
f (x) Î
B zugeordnet. Letzteres heißt
Funktionswert (an der Stelle
x).
- Funktion zweiter Ordnung
- auch quadratische Funktion genannt,
ist eine Funktion, deren
Termdarstellung ein Polynom
zweiter Ordnung ist:
x ®
a x2 +
b x + c,
wobei die Koeffizienten a
(¹ 0), b
und c
fix vorgegeben sind. Die Graphen dieser Funktionen sind
Parabeln.
- ''Für alle''
- kann durch das Symbol " abgekürzt
werden.
- ''Für die gilt''
- wird bei der Definition von Mengen durch das Symbol
| abgekürzt.
Beispiel: A = { x |
x ist eine gerade Zahl größer als 10 }
wird gelesen als
''A ist die Menge aller
x für die gilt:
x ist eine gerade Zahl größer als 10''.
|
|
