- Leere Menge
- ist jene Menge, die kein einziges Element enthält. Sie wird als { } bezeichnet.
Manchmal wird statt dessen dafür der Buchstabe f
verwendet, symbolisch für eine durchgestrichene 0.
Jedoch Vorsicht: Die leere Menge { } ist etwas ganz anderes als die Zahl 0,
und diese beiden sind wiederum von der Menge {0} (die die Zahl 0 als einziges Element
enthält) zu
unterscheiden.
- Lineare Funktion
- Als lineare Funktionen werden manchmal
Funktionen der Form x ®
k x + d
bezeichnet (weil ihre Graphen Geraden sind).
Nach dieser Bezeichnungsweise fallen konstante Funktionen
(für die k = 0 ist)
und
Funktionen erster Ordnung
(für die k ¹ 0 ist)
darunter.
Nach einer anderen Bezeichnungsweise wird eine Funktion nur dann als
linear bezeichnet, wenn sie von der Form
x ®
k x ist
(was der obigen Form mit d = 0 entspricht).
Auf eine genauere Bezeichnungsweise ist allerdings Verlaß:
Eine Funktion der Form
x ®
k x + d
heißt
- linear-homogen, wenn d = 0
ist und
- linear-inhomogen, wenn
d ¹ 0 ist.
- Lineare Gleichung
-
Gleichung, deren beide Seiten lineare Terme sind (bzw. die durch
Äquivalenzumformungen auf eine solche Form
gebracht werden kann).
Dabei wird unter einem linearen (genauer: linear-inhomogenen) Term
ein Ausdruck von der Form
A x + B
verstanden.
Lineare Gleichungen werden auch Gleichungen erster Ordnung genannt.
Eine lineare Gleichung kann immer auf die Normalform
a x + b = 0 gebracht werden.
Lösungen:
Falls a und b beide Null sind, ist die Lösungsmenge gleich der
Grundmenge.
Ist a = 0 und
b ¹ 0, ist die
Lösungsmenge leer. Ist a ¹ 0, so ist
x = - b/a
(falls diese Zahl Element der angegebenen Grundmenge ist) die (einzige)
Lösung.
- Linear-homogene Funktion
- Siehe
lineare Funktion.
- Linear-inhomogene Funktion
- Siehe
lineare Funktion.
- Lösung und Lösungsmenge
-
Jene Werte der Variablen (Unbekannten) einer Gleichung,
die in der angegebenen Grundmenge liegen und für die
die durch die Gleichung dargestellte "Behauptung" eine wahre Aussage ist,
heißen Lösungen. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt
Lösungsmenge. Sie kann ein oder mehrere (auch unendlich viele) Elemente enthalten,
sie kann gleich der Grundmenge oder auch leer sein.
Falls die Gleichung für manche Werte der Variablen keine wohldefinierte
Aussage darstellt (z.B. wenn durch 0 dividiert werden müßte), so fallen
diese Werte von vornherein als Kandidaten für Lösungen aus. Folglich liegt
jede Lösung in der Definitionsmenge.
Gleichungen in mehreren Variablen werden benützt, um geometrische
Sachverhalte zu beschreiben. So wird etwa eine
ebene Kurve als Lösungsmenge einer Gleichung in zwei
Variablen beschrieben. (Beispiele:
Die Lösungsmenge der Gleichung
3 x + y = 1
kann als Gerade dargestellt werden. Jede einzelne Lösung entspricht einem
Punkt auf dieser Geraden. In derselben Weise stellt die Lösungsmenge der Gleichung
y = x2
eine Parabel dar).
Siehe auch Gleichungssysteme.
- Lösungsformel, große
- Siehe Große Lösungsformel.
- Lösungsformel, kleine
- Siehe Kleine Lösungsformel.
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