- Teiler
-
Kann die natürliche Zahl n
ohne Rest durch die natürliche Zahl
k dividiert (''geteilt'') werden
(d.h. ist der Quotient n/k Î N),
so heißt
k Teiler von n
(man sagt auch
''k teilt n'').
Falls
k Teiler von n
ist, ist
n Vielfaches von
k, und es gibt ein
m Î N,
sodaß
n = k m
ist.
Will man auch negative Zahlen betrachten,
so kann das Konzept des Teilers in analoger Weise auf die ganzen Zahlen ausgedehnt
werden.
- Teilmenge
-
Eine Menge B
heißt Teilmenge (oder Untermenge) einer Menge
A,
wenn jedes Element von B
auch Element von A ist
(d.h., wenn aus x Î B folgt, daß x Î A gilt).
Man schreibt dann
B
Í A
(oder A
Ê B).
- Teilerfremd
- oder relativ prim heißen zwei oder mehrere
natürliche Zahlen, die - außer 1 -
keinen gemeinsamen Teiler haben.
In ihren Primfaktorzerlegungen treten dann
keine gemeinsamen Primzahlen auf.
- Term
- Ein Term ist - salopp formuliert - ein mathematischer Ausdruck,
in dem Symbole (Buchstaben) vorkommen, an deren Stelle Zahlen (oder sonstige
mathematische Objekte) eingesetzt werden
können. Diese Symbole heißen Variable.
Erst nach Einsetzen konkreter Zahlen nimmt ein Term einen konkreten Zahlenwert an.
Mit Termen läßt sich daher im Prinzip genauso rechnen wie mit Zahlen.
Terme sind ein wichtiges Hilfsmittel, mathematische Sachverhalte und Probleme
zu formulieren:
-
Allgemeine Rechenregeln werden oft als Identitäten
zwischen Termen formuliert:
-
Eine Formel stellt eine Größe durch andere
Größen als Term dar.
-
Eine Gleichung ist die
Behauptung, daß zwei Terme gleich sind. (Eine solche Behauptung ist in der Regel
nur für bestimmte Werte der Variablen - den Lösungen - eine wahre Aussage).
-
Die Abhängigkeit einer
Funktion von ihrer (oder ihren) Variablen läßt sich
oft durch die Angabe
eines Terms darstellen (siehe Termdarstellung).
Kritische Nachbemerkung: Daß ein Term ein "Ausdruck" ist, ist keine sehr klare
Aussage. Wir verstehen darunter zunächst einen Ausdruck, der sich aus einer oder
mehreren Variablen durch die Anwendung der Grundrechnungsarten aufbauen läßt,
wie z.B.
(3x2 +
y)/(3x -
z). Andererseits werden Ausdrücke, die
andere Operationen oder bereits definierte Funktionen enthalten, wie beispielsweise
|x|
+ 1
oder
sin(x)/x,
auch bisweilen als Terme bezeichnet. Das Wort ist ein bißchen unscharf und wird
gern verwendet, wenn der Begriff der Funktion noch nicht zur Verfügung
steht.
- Termdarstellung
-
heißt die Beschreibung einer Funktion mittels eines
Terms.
Beispiel: Der Term
x2 + 1
definiert die Funktion (Zuordnungsvorschrift)
x ®
x2 + 1. Wird sie mit
f bezeichnet, so ist der Funktionswert zu jedem
x durch
f
(x) =
x2 + 1
gegeben. Diese Aussage wird manchmal auch als
y =
x2 + 1
angeschrieben und Funktionsgleichung genannt, der Term
x2 + 1
spielt in diesem Zusammenhang die Rolle eines
Funktionsausdrucks. Für den geometrischen Grund dieser Schreibweise
siehe Funktionsgraph.
Wird eine Funktion durch einen Term beschrieben, so muß auch ihr
Definitionsbereich
- d.h. die Menge aller x-Werte, auf
die sie wirken soll - angegeben werden.
Im obigen Beispiel kann er gleich der Menge der reellen Zahlen gewählt werden.
In diesem Fall ist
f :
R ®
R. Es eignet sich aber auch jede
Teilmenge von R als Definitionsbereich.
Achtung:
Ist ein Term für manche Werte der Variablen nicht wohldefiniert, so dürfen diese
nicht im Definitionsbereich der zugehörigen Funktion enthalten sein. So definiert der
Term 1/x die Zuordnungsvorschrift
x ®
1/x, deren Definitionsbereich so
gewählt werden muß, daß die Zahl 0 nicht in ihm liegt (also z.B.
als Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen
R*, womit durch
g
(x) =
1/x
eine Funktion
g :
R* ®
R
entsteht).
- Tripel
- Siehe geordnetes Paar und
Zahlenpaare, Zahlentripel und
n-Tupel.
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