Lexikon: K

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Kartesische Koordinaten

auch rechtwinkelige Koordinaten genannt, sind das gebräuchlichste Hilfsmittel, um die Position von Punkten in der Zeichenebene und im dreidimensionalen Raum durch Zahlen auszudrücken. Ein kartesisches Koordinatensystem setzt die Wahl von aufeinander normal stehenden Koordinaten-Achsen voraus.

In der Ebene sind die Koordinaten als Abstände von den (zwei) Achsen definiert. Werden die Achsen mit x und y bezeichnet, so ist die x-Koordinate eines Punktes sein Abstand von der y-Achse und umgekehrt. Hat ein Punkt P die x-Koordinate 3 und die y-Koordinaten 2 (kurz: x = 3 und y = 2), so wird dafür P (3, 2) oder P (3 / 2) geschrieben. Seine Position ist durch das Zahlenpaar (3, 2) eindeutig festgelegt: Er kann (stellen Sie sich ein Blatt Papier vor) vom Ursprung aus erreicht werden, indem zuerst entlang der x-Achse um 3 Einheiten nach rechts (d.h. in die positive x-Richtung), und dann parallel zur y-Achse um 2 Einheiten nach oben (d.h. in die positive y-Richtung) "gegangen" wird. Ist die x-Koordinate eines Punktes negativ, so muß nach links (in die negative x-Richtung), ist seine y-Koordinate negativ, so muß nach unten (in die negative y-Richtung) gegangen werden.
Die Reihenfolge kann umgedreht werden (zuerst in y-, dann in x-Richtung), wodurch ein Rechteck entsteht, das auf zwei Seiten durch die Achsen, auf zwei Seiten durch die Koordinatenlinien durch P begrenzt wird.
Im Raum werden drei Achsen verwendet (und oft mit den Buchstaben x, y und z bezeichnet). Hat ein Punkt Q die Koordinaten x = 4, y = 5 und z = 6, was auch als Q (4, 5, 6) oder Q (4 / 5 / 6) geschrieben wird, so kann er vom Ursprung aus erreicht werden, indem nacheinander um 4, 5 und 6 Einheiten in die positive x-, y- und z-Richtung vorgerückt wird. Ist eine Koordinate eines Punktes negativ, so muß in die entsprechende negative Richtung gegangen werden.
Ein anschauliches Bild aus dem Alltag: Die Koordinaten eines Punktes in einem Zimmer sind seine Abstände von zwei (nicht-gegenüberliegenden) Wänden und vom Fußboden. Ist der Fußboden die xy-Ebene, so hat ein Punkt unter dem Fußboden eine negative z-Koordinate.

Hinter diesen Konstruktionen steckt die Tatsache, daß Ebene (mathematisch R²) und dreidimensionaler Raum (mathematisch R³) als das kartesische Produkt von zwei bzw. drei Kopien der Zahlengeraden R definiert werden können (siehe auch Zahlenpaare, Zahlentripel und n-Tupel). Jede der zwei oder drei Koordinaten eines Punktes gehört zu einer dieser Kopien. Insofern sind die kartesischen Koordinaten besonders "natürliche". (Dabei ist allerdings zu bedenken, daß es viele zueinander verdrehte kartesische Koordinatensysteme gibt, man sich aber üblicherweise auf eines als bevorzugtes einigt).
Die obigen Konstruktionen können ohne Weiteres auch auf höherdimensionale Räume übertragen werden.
Achtung: Die Symbole x, y usw. können, müssen aber nicht verwendet werden.
Neben kartesischen werden auch andere Koordinatensysteme verwendet.

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a Î A und b Î B. In Formeln:

A × B = { (a, b) | a Î A, b Î B }.

Analog ist A × B × C die Menge aller Tripel aus Elementen der drei Mengen A, B und C.
Das kartesische Produkt wird z.B. dazu benützt, um die Ebene (Zeichenebene) als kartesisches Produkt zweier Geraden (Zahlengeraden) zu konstruieren. Mathematisch gesehen ist die Ebene die Menge aller reellen Zahlenpaare, und es gilt R² = R × R.
Analog gilt für den dreidimensionalen Raum R³ = R × R × R, und auch höherdimensionale Räume (allgemein spricht man vom Rⁿ) können so definiert werden.

Kehrwert

auch reziproker Wert genannt. Der Kehrwert einer Zahl x ist jene Zahl, deren Produkt mit x gleich 1 ist. Ein solcher Wert existiert nur, wenn x ¹ 0 ist. Er ist dann genau ¹/_x , d.h. der Quotient aus 1 und x.
Der Kehrwert von Elementen, die von 0 verschieden sind, kann innerhalb der Mengen der reellen, rationalen, und komplexen Zahlen gebildet werden, jedoch nicht innerhalb der ganzen Zahlen (mit Ausnahme der Zahlen -1 und 1) und der natürlichen Zahlen (mit Ausnahme der Zahl 1).

Klammern auflösen

Siehe Distributivgesetz.

Kleine Lösungsformel

Eine quadratische Gleichung, die in der Form x² + p x + q = 0 gegeben ist, hat die Lösungs-Kandidaten

x_1,2 = - p/2 ±

________
Ö p²/4 - q

Im Rahmen der reellen Zahlen existieren diese Ausdrücke nicht immer: Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl p²/4 - q negativ, 0 oder positiv ist, hat die Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen.
Im Rahmen der komplexen Zahlen existieren beide Größen immer: Ist p²/4 - q ¹ 0, so existieren zwei verschiedene Lösungen, ansonsten nur eine einzige.
Siehe auch Vieta'scher Satz.

Kleiner, kleiner-gleich

Siehe Ordnung der reellen Zahlen.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Zwei oder mehrerere natürliche Zahlen besitzen viele gemeinsame Vielfache (z.B. ihr Produkt). Um das kleinste dieser Vielfachen zu ermitteln, wird die Primfaktorzerlegung benützt.
Beispiel: Das kgV der Zahlen 36 und 120.
Primzahlzerlegung der beiden Zahlen: 36 = 2² ×3², 120 = 2³ × 3 × 5.
Das kgV ist 2³ × 3² × 5 = 360 (es muß immer die größere Hochzahl genommen werden. Dabei sind die Primfaktoren 3 und 5 als 3¹ und 5¹ und das Fehlen des Primfaktors 5 in 36 als 5⁰ zu interpretieren).
Das kgV spielt beim Bruchrechnen eine Rolle.

Koeffizient

heißt Vorfaktor. Damit wird im Allgemeinen eine Zahl verstanden, die innerhalb eines Terms eine Variable oder einen Teil-Ausdruck multipliziert. So spricht man von Koeffizienten eines Polynoms. Aber auch bei Ausdrücken wie
2 ( u² + 1 ) - 3 ( u² - 1 ) oder 4 + ¹/_x - 5 ( y⁴ - z⁴ )
werden die auftretenden Zahlen (im ersten Beispiel: 2, -3; im zweiten Beispiel: 4, 1, -5) gelegentlich als Koeffizienten bezeichnet.

Kommutativgesetz der Addition

ist die Aussage, daß es beim Addieren von Zahlen nicht auf die Reihenfolge ankommt: x + y = y + x für alle x, y.

Kommutativgesetz der Multiplikation

ist die Aussage, daß es beim Multiplizieren von Zahlen nicht auf die Reihenfolge ankommt: x y = y x für alle x, y.

Komplementärmenge

Ist A eine Menge und B eine Teilmenge von A (d.h. B Í A), so erhält man die Komplementärmenge (kurz: das Komplement) von A in bezug auf B, indem alle Elemente von B aus A entfernt werden:

A \ B = { x Î A | x ist nicht Element von B } = { x Î A | x Ï B }.

Andere Schreibsweisen für diese Menge sind A ~ B und, etwas schlampig, aber umso einprägsamer, A - B.
Diese Konstruktion wird oft dazu benützt, um aus einer Menge einige wenige Elemente zu entfernen. Beispiel: R \ {0} ist die Menge aller von Null verschiedenen reellen Zahlen (sie wird R_* genannt).

Konstante Funktion

auch Funktion nullter Ordnung genannt, ist eine Funktion, die jedem Wert der unabhängigen Variablen ein- und denselben Funktionswert zuordnet: x ® c, wobei c fix vorgegeben ist.

Koordinaten

Siehe Koordinatensystem.

Koordinaten-Achsen

kurz Achsen, sind die Grundlage geradliniger Koordinatensysteme.

In der Zeichenebene ist ein "Achsenkreuz" durch zwei Geraden definiert, die einander in genau einem Punkt (dem Ursprung) schneiden. Jede der beiden Achsen bekommt eine Orientierung (eine "Richtung"), die zeichnerisch durch einen Pfeil angedeutet wird. Stehen die beiden Achsen aufeinander normal, so handelt es sich um ein kartesisches, ansonsten um ein schiefwinkeliges Koordinatensystem.
Im kartesischen Fall - der der weitaus häufigste ist - wird üblicherweise die erste Achse "horizontal" gewählt, ihre Orientierung nach "rechts", die zweite Achse wird "vertikal" gewählt, ihre Orientierung nach "oben". (Denken Sie bei diesen Begriffen an ein Blatt Papier!)
Die erste Achse wird auch Abszisse, die zweite Ordinate genannt. Bildlich gesprochen, statten die beiden Achsen die Ebene mit einem "Mittelpunkt" (dem Ursprung) und einem Kompaß aus.
Im dreidimensionalen Raum müssen drei Geraden gewählt werden, die einander in genau einem Punkt (dem Ursprung) schneiden. Stehen sie paarweise aufeinander normal, so handelt es sich um ein kartesisches, ansonsten um ein schiefwinkeliges Koordinatensystem.
Diese Konstruktionen übertragen sich in analoger Weise auch auf höherdimensionale Räume.