- Paar, geordnetes
- Siehe
geordnetes Paar.
- Pascal'sches Dreieck
- ist ein Zahlenschema, welches aus den Koeffizienten besteht, die sich durch das
Ausmultiplizieren der Terme
(a + b)n
für
n = 0, 1, 2, 3, 4...
ergeben. Es ist gemäß einer einfachen Regel aufgebaut.
Siehe auch Binomialkoeffizienten.
- Periodische Dezimalzahlen
- Siehe
Dezimaldarstellung.
- Polarkoordinaten
- (genauer: ebene Polarkoordinaten) bilden ein
krummliniges Koordinatensystem
in der Zeichenebene. Ist ein
kartesisches
xy-Koordinatensystem gegeben, so sind die
Polarkoordinaten r
und f
eines Punktes P folgendermaßen definiert:
- r ist der Abstand des Punktes
P vom (durch das kartesische Koordinatensystem
definierten) Ursprung.
- f ist der Winkel, unter dem man, im Ursprung "stehend"
den Punkt P relativ zur Richtung der positiven
x-Achse "sieht". Dieser Winkel wird im
Gegenuhrzeigersinn gemessen und kann im Bereich
0° £ f < 360°.
variieren. (Beachten Sie: ein Winkel von 360° bedeutet dasselbe wie 0°).
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Liegt P im Ursprung, so hat der Winkel
f keinen wohldefinierten Wert, aber davon abgesehen, steckt im
Paar
(r, f)
genausoviel Information wie in den kartesischen Koordinaten
(x, y),
d.h. genau die Information über die Position des Punktes
P.
Siehe auch Koordinatenlinien und
Koordinatensystem.
- Polynom
- Ein Polynom ist ein Term, der von einer oder mehreren
Variablen abhängt und aus diesen (und Zahlen) mit
Hilfe der Operationen Multiplikation und Addition gewonnen werden kann.
Beispiele für Polynome sind:
5 u5 + 4
u3 - 7
u2 +
u - 1
(Polynom in einer Variablen u)
5 a4
b3
+ 4
a3
b4
- 7
a2 +
b
+ 6
a2
- 1
(Polynom in zwei Variablen a und b)
Hängt ein Polynom von einer einzigen Variablen ab, so wird die höchste
auftretende Potenz dieser Variablen als Grad oder
Ordnung des Polynoms bezeichnet.
Ein Polynom n-ten Grades
in einer Variablen x
kann geschrieben werden als
an
xn +
an-1
xn-1 + ... +
a2 x2 +
a1 x +
a0 ,
wobei die Zahlen
ai
Koeffizienten heißen.
Ein Polynom zweiter Ordnung heißt quadratisch,
ein Polynom dritter Ordnung heißt kubisch. Ein Polynom erster Ordnung wird manchmal als
linear bezeichnet (obwohl nach einer anderen Sprechweise diese Bezeichnung
für den Fall eines Polynoms erster Ordnung mit a0 = 0
reserviert ist).
Als Polynome werden auch die Funktionen bezeichnet, die
durch solche Terme dargestellt
werden (deren genauere Bezeichnung Polynomfunktionen ist).
- Polynomfunktion
- ist eine Funktion, deren
Termdarstellung ein Polynom
ist.
- Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten
- ist eine Funktion, deren
Termdarstellung eine Potenz,
d.h. von der Form
x ®
xn ist,
wobei n eine fix vorgegebene ganze Zahl ist.
Der Definitionsbereich einer solchen Funktion (im Rahmen der reellen Zahlen) hängt von
n ab:
- Ist n ³ 0,
so ist die Funktion für alle reellen Zahlen definiert.
- Ist n < 0,
so ist die Funktion für alle von Null verschiedenen reellen Zahlen definiert.
Spezialfälle: Für n = 1 ergibt sich
die identische Funktion
x ®
x,
für n = 0 ergibt sich
die konstante Funktion
x ®
1, und
für n = -1 ergibt sich
die Funktion
x ®
1/x, die jedem
x seinen Kehrwert zuordnet.
- Potenzmenge
- wird die Menge aller
Teilmengen einer gegebenen Menge genannt.
Hat eine endliche Menge
n Elemente, so hat ihre Potenzmenge
2n Elemente.
Jede Menge (also auch jede unendliche Menge)
ist nicht gleichmächtig zu ihrer
Potenzmenge. Wird von einer unendlichen Menge die Potenzmenge, dann die Potenzmenge der
Potenzmenge, davon wider die Potenzmenge - usw. - gebildet, so ergibt sich eine Folge von Mengen, die zwar alle
unendlich viele Elemente haben, aber dennoch sukzessive ''immer größer''
werden.
- p-q-Form der quadratischen Gleichung
- Siehe Quadratische Gleichung.
- Primzahlen
- sind jene natürlichen Zahlen größer als 1,
die - außer 1 und sich selbst - keinen Teiler
besitzen, d.h. die sich - außer durch 1 und sich selbst - durch keine andere
natürliche Zahl ohne Rest dividieren lassen.
Primzahlen sind also jene natürlichen Zahlen, die nicht Vielfache
kleinerer natürlicher Zahlen sind.
Primzahlen sind in gewisser Wiese die ''Bestandteile'' der natürlichen Zahlen:
siehe Primfaktorzerlegung.
Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
Listen von Primzahlen lassen sich systematisch durch das
Sieb des Eratosthenes konstruieren.
Obwohl es ziemlich einfach ist, zu sagen, was Primzahlen sind, ist die mathematische Theorie,
die sich ihnen widmet, sehr schwierig und weist noch viele offene Fragen auf. Seit der
Antike ist bekannt, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.
Ein Beispiel für ein offenes Problem ist, ob es unendlich viele
''Primzahlzwillinge'' (wie 17, 19 oder 29, 31)
gibt.
- Primfaktorzerlegung
- Jede natürliche Zahl größer als 1
kann in eindeutiger Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben werden
(die Primfaktoren heißen).
In diesem Sinn sind die Primzahlen die ''Bestandteile'' der natürlichen Zahlen.
Beispiel: 45 = 32 × 5, wobei der Faktor 3 mit Vielfachheit 2 auftritt.
Die Primfaktorzerlegung ist wichtig für die Ermittlung des
größten gemeinsamen Teilers und des
kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier oder mehrerer natürlicher
Zahlen, welche wiederum beim Bruchrechnen eine Rolle
spielen.
- Probleme der Mengenlehre
-
Die Idee der Menge als Zusammenfassung wohldefinierter
Objekte klingt zunächst sehr einfach und einleuchtend. Das trifft
für den hier behandelten Unterrichtsstoff auch zu, hält aber einem Blick in die
Tiefe nicht stand:
Die uneingeschränkte Erzeugung von Mengen, wie etwa die ''Menge aller Mengen'',
führt auf Widersprüche (sogenannte Antinomien).
Besonders leicht ist einzusehen, daß die ''Menge aller Mengen, die sich nicht
selbst als Element enthalten'' ein in sich widersprüchliches Konzept ist.
Entdeckungen dieser Art haben seit dem Beginn des 20. Jahrhunderts
(beginnend mit Ernst Zermelo) zu einem Überdenken der Grundlagen der Mathematik
geführt. In der axiomatischen Mengenlehre wird versucht,
Regeln für den Umgang mit Mengen auf formale Weise aus möglichst wenigen
Grundannahmen (Axiomen) herzuleiten, sodaß Objekte wie die
''Menge aller Mengen'' gar nicht erst auftreten.
Ein sehr oft (und auch hier) vertretener Standpunkt ist der, die
intuitiven Anschauungen (genannt ''naive Mengenlehre'') zuzulassen,
problematische Konstruktionen wie die ''Menge aller Mengen'' (oder auch
Mengen, die sich selbst als Element enthalten) aber zu vermeiden.
- Produkt
- Siehe Multiplikation.
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