- Beweis durch vollständige Induktion
- Siehe Induktionsbeweis.
- Betrag einer reellen Zahl
- bedeutet dasselbe wie
Absolutbetrag einer reellen Zahl.
- Betragsfunktion
- wird jene Funktion genannt, die jeder Zahl ihren
Absolutbetrag zuordnet, d.h.
x
®
|x|.
Sie ist ein Beispiel für eine Funktion, deren einfachste Definition nicht als
Termdarstellung, sondern mit Hilfe einer Fallunterscheidung
geschieht:
- Bezugssystem
- ist ein in der Physik gebräuchliches Wort für
Koordinatensystem (wobei durchaus auch die
Zeit, zu der ein Ereignis stattfindet, als Koordinate angesehen wird).
- Bijektiv
- oder eineindeutig heißt eine Funktion
f :
A ®
B, die jedes Element der Menge
B
(siehe surjektiv) genau einmal
(siehe injektiv) trifft. (Kurz: eine Funktion ist bijektiv,
wenn sie surjektiv und injektiv ist). Eine solche Funktion heißt auch
Bijektion.
Eine bijektive Funktion stiftet eine Eins-zu-eins-Zuordnung (eine genaue Entsprechung)
zwischen Elementen der Mengen A
und B. Die beiden Mengen sind dann
gleichmächtig
(sie werden auch isomorph oder, schlampig,
"gleich groß" genannt). Eine bijektive Funktion wird in diesem Sinn auch
Isomorphismus genannt.
Die Zuordnungsvorschrift kann dann "umgedreht" werden und definiert die
inverse Funktion (Umkehrfunktion)
f -1 :
B ®
A.
Eine bijektive Funktion wird daher auch als invertierbar (umkehrbar) bezeichnet.
Sind A und B
endliche Mengen, so gibt es nur dann eine
bijektive Funktion A ®
B, falls sie gleich viele Elemente
besitzen.
Zwei Mengen lassen nicht immer eine bijektive Funktion zu. So gibt es zum Beispiel
keine bijektive Funktion N ®
R. Das ist eine Variante der
Aussage, daß die reellen Zahlen nicht
abzählbar (sondern überabzälbar)
sind.
- Bild einer Funktion
- bedeutet dasselbe wie
Wertebereich.
- Binomialkoeffizienten
- sind jene Vorfaktoren, die sich durch das Ausmultiplizieren der Terme
(a + b)n
für
n = 0, 1, 2, 3, 4...
ergeben.
Der k-te Koeffizient in der ausmultiplizierten Version
von (a + b)n
(wobei die Summanden nach absteigenden Potenzen von a geordnet werden
und mit k = 0 zu zählen begonnen wird)
wird als
angeschrieben (siehe auch Binomische Formeln).
Zwei direkte Formeln zur Berechnung der Binomialkoeffizienten sind
|
|
æ
è
|
|
| |
ö
ø
|
= |
n (n - 1) (n - 2) ... (n - k + 1) (n - k)
k (k - 1) (k - 2) ... 2 × 1
|
|
|
und
(Für die Bedeutung der Rufzeichen siehe Faktorielle).
Eine weitere Berechnungsmethode ergibt sich über das
Pascal'sche Dreieck.
- Binomische Formeln
- werden die Identitäten
|
|
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 |
|
|
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2 |
|
|
(a + b) (a - b) = a2 - b2 |
|
|
genannt. Sie sind so wichtig, daß Sie sie auswendig kennen sollten!
Die Verallgemeinerungen der ersten dieser Formeln zur Berechnung von
(a + b)n
(siehe Binomialkoeffizienten)
werden manchmal ebenfalls als Binomische Formeln
bezeichnet.
- Bruch
- Ausdruck der Form
auch
a/b
oder a/b
geschrieben, wobei
a (der Zähler) und
b (der Nenner) Zahlen
sind. Ein Bruch bezeichnet einfach eine Division, stellt daher einen
Quotienten dar. Der Nenner
b muß von 0 verschieden sein
(siehe Division durch 0).
Zum Rechnen mit Brüchen siehe
Bruchrechnen.
- Bruchgleichung
- Gleichung, die Brüche beinhaltet, in deren
Nenner die Variable vorkommt. Hier ist zu beachten, daß eine Division durch Null nicht
wohldefiniert ist. Daher müssen alle Werte der Variablen, für die ein Nenner
der Gleichung Null wird, aus der Grundmenge herausgenommen werden,
um die Definitionsmenge zu erhalten.
Das Ermitteln jener Variablenwerte, für die ein Nenner Null wird, führt
selbst auf eine Gleichung (nämlich auf die Gleichung
Nenner = 0).
- Bruchzahlen
- Ein (etwas schlampiger) Name für rationale Zahlen.
Der Name meint Brüche der Form
"ganze Zahl/ganze Zahl".
- Bruchrechnen
- hat, wie der Name sagt, das Rechnen mit Brüchen zum Thema.
Die Rechenregeln für Brüche leiten sich aus jenen für die
Addition, die Multiplikation
und den davon abgeleiteten Operationen
Subtraktion und
Division her.
Zwei wichtige Regeln:
- Kürzen und Erweitern von Brüchen:
Kommen nur ganze Zahlen vor, so ist die güstigste Zahl, durch die ein Bruch
gekürzt werden kann, der größte gemeinsame Teiler
von Zähler und Nenner.
- Addition von Brüchen (''auf gemeinsamen Nenner bringen''):
Sind die gegebenen Nenner ganze Zahlen, so ist der günstigste gemeinsame Nenner deren
kleinstes gemeinsames Vielfache.
|
|
