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Zwei Kammern sind durch eine Membran getrennt, die Ionen in beiden
Richtungen durchlässt. Die Kammer 1 wird mit destilliertem
Wasser gefüllt, in die 2.Kammer wird eine Salzlösung gegeben.
Die Salzlösung enthalte am Anfang 10.000 Ionen einer bestimmten
Sorte. Für jedes Ion werden die minütlichen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
in den Kammern (1) und (2) durch das nebenstehende Diagramm wiedergegeben.
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Aufgaben
| 1. |
Gib die Übergangsmatrix A an.
Bestimme die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die Verteilung
der Ionen nach 1, 2, 3 und 4 Minuten.
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Ergebnis |
| 2. |
Bestimme die stabile Verteilung  für
diese Anfangsverteilung der Ionen.
Wie sieht das Verhältnis der stabilen Verteilung für
eine beliebige Anfangsverteilung aus?
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Ergebnis |
Wir wollen der Frage nachgehen, warum es eine stabile Verteilung gibt.
Dazu wählen wir aus praktischen Gründen einen "kleineren"
Anfangszustand z.B. 24 Ionen in Kammer 2, 12 Ionen in Kammer
1. Diesen Anfangszustand können wir mit dem Zustandsvektor 
ausdrücken und in einem Koordinatensystem zeichnen.
Aufgaben
| 3. |
Berechne die Änderungen des Zustandsvektors für 1, 2,
3 Minuten und zeichne die Ergebnisse in ein Koordinatensystem. Wähle
auch noch eigene Anfangszustände
Alternativ kannst du die Aufgabe auch interaktiv mit dem 
bearbeiten.
(Anmerkung: Du kannst die Matrix auch als
Abbildung aufffassen,
die jeden Punkt der Ebene auf ihren Bildpunkt abbildet. In diesem
Sinne wird jeder Zustand durch einen Punkt der Ebene dargestellt
und durch die Abbildung verändert.)
Was stellst du fest?
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Ergebnis |
| 4. |
Welche Vermutung lässt sich über die Lage der stabilen
Zustandsvektoren machen?
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Ergebnis |
| 5. |
Für eine Bestätigung deiner Vermutung hilft
dir ein tieferer Einstieg
in die Matrizentheorie |
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Exkurs: Parameterform
der Geraden im 2 und 3 dimensionalen Raum |
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