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Begriff / Verfahren
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Beschreibung
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Wie berechne ich die Potenzen einer Matrix?
Allgemeine Definition:
Potenz
einer Matrix
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Die n-te Potenz einer Matrix
ist wie bei Zahlen die n-fache Multiplikation der Matrix mit sich
selbst.
Für kleine Potenzen ist
die noch "von Hand" durchführbar. Für grosse
Potenzen oder zur schnellen Bereitstellung der Ergebnisse sollte
ein CAS (z.B. TI-89, Derive, Mathcad, etc ) benutzt werden.
In der Mathcad-Datei ( Verteilungsmatrix.mcd
) ist die Syntax zu erkennen, für andere Systeme sollte in
den jeweiligen Handbüchern nachgeschlagen werden.
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| Wie sehen die Ergebnisse bei unterschiedlichen Anfangsvektoren
aus? |
Die Rechnung mit den drei verschiedenen
Anfangsvektoren hat gezeigt, das nach relativ wenigen Wochen in
jedem Fall derselbe Käufervektor herauskommt.
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Wie finde ich einen stabilen Vektor?
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Da wir nicht "alle"
Vektoren durchprobieren können, müssen wir andere Überlegungen
anstellen um zu einem "stabilen Endvektor  "
zu kommen.
Wenn der Vektor
stabil sein soll, darf er sich durch die Multiplikation mit der
Matrix V nicht mehr verändern, d.h für den gesuchten Vektor muss
gelten:
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Wie sieht die Einheitsmatrix aus?
Allgemeine Definition:
Einheitsmatrix
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Die Matrix E in der obigen Umformung
heißt Einheitsmatrix und hat folgende Gestalt:
Die Einheitsmatrix
verändert bei der Multiplikation mit einer anderen Matrix diese
nicht.
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Wie werden Matrizen addiert?
Allgemeine Definition:
Matrizenaddition
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In den Klammern oben steht (V
- E ), also die Differenz zweier Matrizen.
Die Addition bzw. Subtraktion
zweier Matrizen wird durchgeführt, indem man jeweils die Komponenten,
die in den beiden Matrizen an derselben Stelle stehen addiert bzw.
subtrahiert. (vgl. Herleitung)
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| Wie löse ich ein LGS mit 3 Gleichungen und 3
Variablen ? |
Die Lösung der Gleichung
führt auf ein lineares Gleichungssystem, das sich mit jedem
der bekannten Verfahren lösen lässt. Am gebräuchlichsten
ist an dieser Stelle das Gauss-Verfahren.
=
 ist
kleinster ganzzahliger Lösungsvektor bei einer Gesamtzahl von
24 Käufern
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| Wie berechne ich den exakten stabilen Vektor? |
Beziehen wir den Vektor auf
diese Gesamtzahl, so ergibt sich:
Die einzelnen Komponenten
des Vektors geben den Anteil an der Gesamtzahl der Käufern
wieder. Bezogen auf unsere
Aufgabenstellung ergibt sich als stabiler Vektor:
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| Wie berechne ich die Grenzmatrix? |
Der Vektor
gibt in den Komponenten den Anteil an
der Gesamtzahl der Käufern an. Der Vergleich mit der Matrix
 ,
z.B. n = 20 lässt erkennen, dass in ihren Spalten
der prozentuale Anteil des stabilen Käufervektors steht.
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| Lassen sich die Ergebnisse für jeden beliebigen
Anfangsvektor verallgemeinern? |
Allgemeine
Betrachtungen zur konkreten
Matrix V zeigen, dass es zu jedem Anfangsvektor immer denselben stabilen
Endvektor gibt. |
