Station 20 Umkehrfunktionen J  

Die Erfindung des Thermometers wird Galileo zugeschrieben, obwohl das luftdicht verschlossene Thermometer erst um 1650 aufkam. Das moderne Alkohol- wie auch das Quecksilberthermometer wurden von dem deutschen Physiker Gabriel Fahrenheit erfunden, der auch die erste weithin anerkannte und nach ihm benannte Temperaturskala aufstellte. Bei dieser wurde der Gefrierpunkt des Wassers bei normalem Luftdruck auf 32° F und der Siedepunkt auf 212° F festgelegt. Seither wurden unterschiedliche Temperaturskalen vorgeschlagen, wie z. B. die Celsiusskala, die von dem schwedischen Astronomen Anders Celsius entwickelt wurde. Nach der Celsiusskala liegt der Gefrierpunkt bei 0 °C und der Siedepunkt bei 100 °C. Heutzutage wird die Celsiusskala in den meisten Ländern der Welt angewendet, während man die Fahrenheitskala überwiegend in den angelsächsischen Ländern benutzt.

 

a) Entnimm dem Artikel die notwendigen Angaben, um die Funktionsgleichung einer Funktion aufzustellen, mit der man Grad Celsius (x) in Grad Fahrenheit (f(x) ) umrechnen kann. Nenne diese Funktion f und zeichne ihren Graphen in ein Koordinatensystem ein.

b) Benutze deine Funktionsgleichung aus a) , um die Funktionsvorschrift einer Funktion zu bestimmen , mit der man umgekehrt Grad Fahrenheit in Grad Celsius umrechnen kann. Zeichne den Graphen dieser Funktion in das Koordinatensystem aus a) ein.

Vergleiche die Lage der beiden Geraden! Welcher geometrische Zusammenhang besteht zwischen den beiden Funktionsgraphen?


     Schreibe einen kurzen Text, in dem folgende Fragen beantwortet werden!

    • Wie muss man die Wertetabelle der Ausgangsfunktion ändern, um die Wertetabelle der Umkehrfunktion zu erhalten?
    Wie bestimmt man aus der Funktionsgleichung einer gegebenen Funktion die Gleichung der Umkehrfunktion?
    Wie bestimmt man geometrisch den Graphen der Umkehrfunktion?
    Besitzt jede Funktion eine Umkehrfunktion?


    Lösung

    Aufgabe 2

    Eine Turmspringer steht auf dem 10m-Turm eines Freibades. Er fragt sich, wie lange es dauert, bis er in das Wasser taucht.

    Aus der Physik ist bekannt, dass sich der Zusammenhang zwischen Zeit und Weg eines fallenden Körpers näherungsweise durch eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)= 5x² beschreiben lässt, wobei die Zeit x in Sekunden und der Weg f(x) in Metern angegeben wird.

    a) Bestimme auch hier die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion.(Hinweis: Benutze die gleiche Vorgehensweie wie in Aufgabe 1.)

    b) Wie lange wird es dauern, bis der Turmspringer in das Wasser eintaucht?

    c) Zeichne die Graphen der Funktion f mit f(x)=5x² und ihrer Umkehrfunktion in ein Koordinatensystem ein.

    d) Wie muss man den Definitionsbereich einschränken, damit die Umkehrung der Ausgangsfunktion auch wirklich eine Funktion (d.h. eine eindeutige Zuordnung ) ist?

    e) Ergänze deinen Text aus Aufgabe 1c: Welche Eigenschaft muss eine Funktion haben, damit sie umkehrbar ist.

     


    Lösung

     

     Aufgabe 3

    Bestimme die Funktionsgleichungen der Umkehrfunktionen. Schränke den Definitionsbereich, falls notwendig, so ein, dass eine Umkehrfunktion existiert.

    Gib jeweils den Definitionsbereich und Wertebereich ( falls abweichend von R) der Umkehrfunktion an.

    1. f(x) = 3x-1
    2. g(x) = 4x²-1
    3. h(x) = -2x+7
    4. i(x) = -5x²+3
    5. j((x) = x²+2x+1
    6. k(x) = 2x²+12x+18
    7. l(x) = x²-2x+3
    8. m(x) = x³-2


    Lösung

     

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