SelMa_Matrixprojekt: Geometrie

Zu lösen ist die folgende Gleichung
oder ausführlich:
Einsetzen der konkreten Matrixelemente führt auf folgendes System

Zur Lösung gibt es mehrere Verfahren. Wir wählen hier das Gauß-Verfahren. Dabei wird die Matrix auf obere Dreiecksgestalt gebracht, indem die 1.Zeile der Matrix mit dem Faktor multipliziert wird, vorausgesetzt es gibt. Subtrahieren wir dann die 1. Zeile von der 2.Zeile erhalten wir:

Dieses homogene lineare Gleichungssystem besitzt nur dann weitere Lösungen als , wenn alle Elemente in der 2.Zeile der obigen Matrix Null sind; dann sind die Zeilen in der Matrix linear abhängig.
Dies ist dann der Fall, wenn gilt:
Umgeformt ergibt sich: Da gilt, ist die Lösung dieses Ausdrucks identisch mit der Lösung der Gleichung
Das Polynom heißt charakteristisches Polynom oder charakterische Gleichung
Die Lösungen der Gleichung sind, wie man leicht sieht:
und heißen Eigenwerte von A