Crash-Kurs

Grenzwertbestimmung bei rationalen Funktionen

Bevor du in den Crash-Kurs einsteigst, lies doch bitte die folgenden 4 Punkte genau durch:

Bei den Beispielen ist gemeint mit:

sehr großen neg. Zahlen solche neg. Zahlen mit großem Betrag ( z.B. –1000000 )

sehr kleinen neg. Zahlen solche neg. Zahlen mit kleinem Betrag ( z.B. –0,000001 )

Ein Plus-oder Minuszeichen rechts hochgestellt an einer Zahl bei Grenzwerten bedeutet Annäherung von rechts – bzw. von links her an die Zahl

heißt: x ist bei der Annäherung größer als 3, also z.B. 3,1 ; 3,01 ; 3,001 usw
heißt: x ist bei der Annäherung kleiner als 3, also z.B. 2,9 ; 2,99 ; 2,999 usw

Achtung:
Nicht jeder Mathe-Lehrer ist mit der hier verwendeten, zugegebenermaßen nicht sehr korrekten, Schreibweise bei der Berechnung von Grenzwerten wie z.B. einverstanden.

Frage deshalb deinen Lehrer, ob er diese Schreibweise toleriert. Tut er das nicht, dann führe die Berechnung auf einem Schmierblatt durch und schreibe nur das Ergebnis so hin:

Die beim Ergebnis verwendete Schreibweise wie 0⁺ oder 0^- ist nur dann wichtig, wenn man wissen will, wie sich der Funktionsgraph an die zugehörige waagrechte Asymptote (die x-Achse) annähert, ob von oben ( 0⁺ ) oder von unten (0^-)

So, nun geht es los.

Allgemein unterscheidet man bei Grenzwerten solche, bei denen x gegen Plus-oder Minus Unendlich geht und solche bei denen sich x einer Zahl a annähert (von einer oder von beiden Seiten).
Die dabei entstehenden Grenzwerte können klar oder unklar sein.

Für rationale Funktionen gibt es aber nicht so viele Möglichkeiten, wie dieser Kurs gleich zeigt.

Gibt es bei einer Grenzwertbildung mehrere Möglichkeiten, so entscheide dich für die, die dir am leichtesten erscheint.

I. Grenzwerte für x ® ¥

1) Klare Grenzwerte

Steht im Zähler nur eine Konstante, dann ist die Sache klar. Als Ergebnis kommt nur der klare Grenzwert in Frage.

Drei Beispiele zeigen diesen Fall:

Zu beachten ist beim 2.Beispiel, dass wegen x² im Nenner immer +¥ ensteht. Beim 3.Beispiel dreht das Minus im Zähler die Vorzeichen des Nenners um.

In allen drei Fällen hat der Graph G_f eine waagrechte Asymptote. Außer beim 2.Beispiel erfolgt die Annäherung von unten und oben her.

Aufgaben

Steht im Zähler nicht nur eine Konstante, so kommt für diese Grenzwertbildung nur der unklare Grenzwert

in Frage, da ja das Zählerpolynom und das Nennerpolynom beide gegen Unendlich gehen.

Folgende drei Beispiele zeigen, dass je nach Funktion völlig unterschiedliche Ergebnisse entstehen können.

Um solche Grenzwerte zu lösen gibt es eine rein mathematische Möglichkeiten und eine eher gefühlsmäßige Lösung, die ich hier Weglassen nenne.

2) Weglassen

Es ist doch klar, dass größere Potenzen von x schneller gegen ¥ gehen als kleinere Potenzen. Zum Beispiel ist 100⁵ schon viel größer als 100² und (-100)⁵ betragsmäßig ebenfalls viel größer als (-100)³ .

Im folgenden werden die obigen drei Beispiele nochmal aufgegriffen:

	Im Zähler werden alle Potenzen von x unter 3 und im Nenner alle unter 2 weggelassen und dann x³ gekürzt. Danach ergibt sich der klare Grenzwert: Unendlich/Zahl G_f hat eine schräge Asymptote da der Zählergrad 3 um eins höher ist als der Nennergrad 2.
	Nach Weglassen der niedrigeren Potenzen im Zähler und Nenner und Kürzen ergibt sich der klare Grenzwert: Zahl/Unendlich G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung nur von oben her.
	Nach Weglassen der niedrigeren Potenzen im Zähler und Nenner und Kürzen ergibt sich der klare Grenzwert 3 G_f hat die waagrechte Asymptote y=3 .

Weitere Beispiele

Aufgaben

3) Rechnerische Lösung

Prinzip:
Man klammert die höchste Potenz des Nenners oder Zählers aus (einfacher ist das Ausklammern beim Nenner), kürzt dann und benutzt die Tatsache, dass alle Summanden der Form 1/x , 1/x² usw. für x gegen Unendlich dann gegen Null gehen.

Folgendes Beispiel zeigt diese Prinzip:

0⁺ deshalb, weil die Terme 1/x² und 2/x⁴ im Zähler für große x gegenüber dem Term 1/x zu vernachlässigen sind (probiere es mit dem Taschenrechner aus).

Weitere Beispiele

Aufgaben

4) Allgemeine Merkregel

Auf Grund des Weglassen-Prinzips und auch wegen der rechnerischen Lösung ergibt sich eine leicht anwendbare Merkregel für die Grenzwerte x gegen Unendlich.

Ist f(x) eine rationale Funktion der Form:

so gilt:

Die Vorzeichen von Null und Unendlich ergeben sich aus den Koeffizienten a_z und a_n der höchsten Potenzen von Zähler und Nenner und dadurch, ob diese Potenzen gerade oder ungerade sind.

Aufgaben

II. Grenzwerte für x ® Zahl

1) Klare Grenzwerte

Wird der nur Zähler oder nur der Nenner Null, wenn man diese Zahl einsetzt, so ergibt sich auf jeden Fall ein klarer Grenzwert der Form oder .

Die folgenden zwei Beispiele zeigen diese Möglichkeiten:

Aufgaben

2) Unklarer Grenzwert 0/0 - Faktorisieren

Problematisch bei dieser Grenzwertbildung ist es nur, wenn diese Zahl gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers und Nenners ist. Dann ergibt sich nämlich der unklare Grenzwert

Durch Zerlegen von Zählerpolynom und Nennerpolynom kann die gemeinsame Nullstelle aber bestimmt und dann gekürzt werden, so dass aus dem unklaren Grenzwert ein klarer Grenzwert entsteht, da ja nach dem Kürzen entweder Zähler oder Nenner oder beide bei der Grenzwertbildung nicht mehr Null werden.

Folgende Beispiele zeigen dieses Verfahren:

	Zerlegen von Zähler und Nenner ergibt die gemeinsame Nullstelle 1 , die dann vollständig gekürzt werden kann. G_f hat bei x=1 eine stetig behebbare Definitionslücke.
	Die gemeinsame Nullstelle 1 bleibt im Nenner auch nach dem Kürzen übrig, aber es entsteht der klare Grenzwert Zahl/0 . G_f hat bei x=1 eine senkrechte Asymptote .
	Die gemeinsame Nullstelle 2 bleibt im Zähler auch nach dem Kürzen übrig, aber es entsteht der klare Grenzwert 0/Zahl . G_f hat bei x=2 eine stetig behebbare Definitionslücke.

Weitere Beispiele

Aufgaben

3) Unklarer Grenzwert 0/0 - Regel von de l'Hospital

Für solche, die nicht gerne Faktorisieren (obwohl man dies ja eigentlich sowieso im Zähler für die Nullstellen und im Nenner für die Definitionsmenge tun muss) ist die Regel von de l'Hospital (sprich: delopital) eine schöne Möglichkeit für Grenzwerte der Form 0/0.

Sie lautet vereinfacht für diesen Fall:

Das bedeutet:
Leite Zähler und Nenner jeweils für sich und unabhängig voneinander ab und zwar solange, bis aus dem unklaren Grenzwert 0/0 ein klarer Grenzwert wird.
Du kannst also auch öfter als einmal ableiten, aber immer bei Zähler und Nenner gleichzeitig und unabhängig voneinander.

Folgende drei Beispiele zeigen diese Regel:

Bei Einsetzen von 2 ergibt sich zunächst der unklare Grenzwert 0/0 . Leitet man Zähler und Nenner je für sich einmal ab, dann kommt der klare Grenzwert 2/3 heraus.

G_f hat bei x=2 eine stetig behebbare Definitionslücke.

Bei Einsetzen von -1 ergibt sich zunächst der unklare Grenzwert 0/0 . Leitet man Zähler und Nenner je für sich einmal ab, dann kommt der klare Grenzwert Zahl/0 = ¥ heraus.

G_f hat bei x=2 eine senkrechte Asymptote.

Bei Einsetzen von 0 ergibt sich zunächst der unklare Grenzwert 0/0 . Leitet man Zähler und Nenner je für sich einmal ab, dann kommt wieder derselbe unklare Grenzwert heraus. Erst durch nochmaliges getrenntes Ableiten ergibt sich der klare Grenzwert 0/Zahl = 0 heraus.

G_f hat bei x=0 eine eine stetig behebbare Definitionslücke.

Aufgaben

So, das war's schon mit den Grenzwerten bei rationalen Funktionen.
Wenn du mehr zum Thema Grenzwertbildung wissen willst, so arbeite den

Crashkurs Grenzwertbestimmung

durch, den du bald auch auf diesen Seiten findest.

Du kannst dir auch hier die Offline-Version dieses Crash-Kurses als selbstentpackendes ZIP-File herunterladen.

Noch ein letztes Wort in eigener Sache:

Nobody is perfect und auch ich bin es nicht. Sollten auf diesen Seiten mathematische - oder Schreibfehler sein, so maile dies doch bitte an die folgende Adresse:
org.postmaster@wvsg.schulen.regensburg.de

Kurt Brühmann, 25.9.2003