Begriffserklärungen

Rationale Funktionen

Eine rationale Funktion f ist der Quotient zweier Polynomfunktionen z(x) / n(x).

Beispiele:		unechte rationale Funktion, da der Grad des Zählers (2) größer ist als der Grad des Nenners (1)
		echt rationale Funktion, da der Grad des Zählers (0) kleiner ist als der Grad des Nenners (1)
		echt rationale Funktion, da der Grad des Zählers (3) kleiner ist als der Grad des Nenners (5)
	f (x) = - 3x2 + 4x + 5	Sonderfall: ganzrationale Funktion, da der Grad des Nenners Null ist (der Nenner ist hier die Zahl 1)

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Polynomfunktion

Eine Polynomfunktion f(x) hat die Form f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ......  +a₁x¹ +a₀ , wobei die Potenzen von x nur natürliche Zahlen sind. Der Grad der Polynomfunktion ist die höchste vorkommende Potenz von x.

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Definitionslücke

Eine Definitionslücke ist eine Stelle x , an der eine Funktion nicht definiert ist. Diese Stelle gehört dann natürlich nicht zum Definitionsbereich der Funktion.

Die üblichen Definitionslücken entstehen wenn:

• Ein Nenner Null wird
• unter einer Wurzel eine negative Zahl entsteht
• in einem Logarithmusterm eine negative Zahl oder die Null entsteht

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Klare und unklare Grenzwerte

Die Unterscheidung in klare und unklare Grenzwerte dient nur der Anschaulichkeit und ist nicht in Lehrbüchern zu finden.

• Klare Grenzwerte sind solche, die man mehr oder weniger sofort sieht, bei denen eine eindeutige Zahl herauskommt oder die man gefühlsmäßig erfassen kann. Zur Sicherheit kann man auch mit dem Taschenrechner arbeiten.
  
  Hier eine Aufstellung der im Gymnasium üblichen klaren Grenzwerte:

  	Eine Zahl (auch eine sehr kleine) geteilt durch eine sehr große Zahl ergibt eine sehr kleine Zahl, also als Grenzwert die 0.
  	Eine sehr große Zahl geteilt durch eine sehr kleine Zahl ergibt eine sehr große Zahl, also als Grenzwert Unendlich.
  	Eine Zahl ungleich Null geteilt durch eine sehr kleine Zahl ergibt eine sehr große Zahl, also als Grenzwert Unendlich.
  	Eine sehr große Zahl multipliziert mit einer sehr großen Zahl ergibt eine sehr große Zahl, also als Grenzwert Unendlich.

 

• Unklare Grenzwerte sind solche, bei denen man nicht gleich sagen kann, was herauskommt. Im Gegenteil ist das tatsächliche Ergebnis oft verblüffend. Zur Sicherheit kann man auch hier meist mit dem Taschenrechner arbeiten.
  
  Hier eine Aufstellung der im Gymnasium üblichen unklaren Grenzwerte:

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Asymptoten

Eine Asymptoten ist eine Gerade, an die sich ein Funktionsgraph beliebig annähert, sie aber dabei nicht erreicht.
Man unterscheidet je nach Gestalt waagrechte, senkrechte und schräge Asymptoten.

1. Waagrechte Asymptoten:
   Waagrechte Asymptoten sind horizontal verlaufende Geraden. Sie enstehen, wenn bei einem Grenzwert für x ® ¥ eine beliebige Zahl a herauskommt und sie haben die Gleichung y = a .

2. Senkrechte Asymptoten:
   Senkrechte Asymptoten sind senkrecht verlaufende Geraden. Sie enstehen, wenn bei einem Grenzwert für x ® ¥Zahl a ¥ herauskommt und sie haben die Gleichung x = a .

3. Schräge Asymptoten:
   Schräge Asymptoten sind weder waagrecht, noch senkrecht verlaufende Geraden. Sie enstehen immer bei rationalen Funktionen, wenn der Zählergrad um 1 größer ist als der Nennergrad und wenn bei einem Grenzwert für x ® ¥ auch ¥ herauskommt. Sie haben die Gleichung y = mx+t .

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Stetig behebbare Definitionslücken

Untersucht man das Verhalten einer rationalen Funktion f an einer ihrer Definitionslücken ( z.B. die Stelle a ), dann wird ja der Nenner für x ®  a auf jeden Fall Null (sonst wäre a ja keine Definitionslücke).

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