Wir definieren folgende Determinanten
Zur Lösung dieser Gleichungsysteme sind 3 Fälle zu unterscheiden:
1. Fall: Ist die Determinate ,
dann gilt für die Lösung::
2. Fall: Ist die Determinate
und ist , dann hat das System keine Lösung
3. Fall: Ist die Determinate
und ist , dann hat das System unendlich viele Lösung
Ein Beweis dieser Regel soll hier nicht gebracht werden. Er bleibt dem geneigten Leser überlassen.
In Falle der Dimension 2 ist er mit vertretbarem Aufwand durch das Einsetzungverfahren zu führen.
Der 3 dimensionale Fall lässt sich nach demselben Verfahren beweisen, ist jedoch um Längen aufwendiger.
,
,
dann hat das System keine Lösung
,
dann hat das System unendlich viele Lösung