Was ist jeweils N, was ist k?
Was sind unterschiedliche Möglichkeiten ?
Mit oder ohne Wiederholung ?
Reihenfolge relevant vs. irrelevant ?
Selbstkontrolle

Was ist jeweils N, was ist k ?

N ist stets die Anzahl der Elemente in der Ausgangsmenge,

d.h. die Anzahl aller Elemente, aus denen ausgewählt werden kann (N= Auswahlmöglichkeiten).

k ist immer die Anzahl der Elemente, die ausgewählt werden (müssen).

Allerdings ist es nicht immer offensichtlich, was N und k sein soll.

Aus einer Urne mit 5 verschieden farbigen Kugeln sollen 3 Kugeln gezogen werden. N=5;  k=3.

Wieviele Elemente stehen prinzipiell zu Auswahl (N) ?
Wieviele Elemente werden ausgewählt (k) ?

• Ein Würfel wird 7 mal geworfen.  (N=6 mögliche Punkte, k=7 Würfe)
• Bei einem Zahlenschloss sind insgesamt 6 Ziffern einzustellen (N=10, k=6)
• Es werden 10 MC-Aufgaben mit jeweils 4 Alternativen vorgegeben (N=4, k=10)
• Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 verschiedene Autos mit 3 verschiedenen Farben zu lackieren, ( je nachdem, wie man das Problem genau verstehen will, z.B.: (N=3, k=4) ?
• Ein Golf und ein BMW kommen in zeitlich längerem Abstand nacheinander an die Ampel. Welche Ampelstellungen sind möglich. (N=3 (rot grün, gelb), k=2 Autos, eigentlich völlig egal, welche Marke)

Die komplizierteren Fälle auf den Trivialfall zurückzuführen, kann als eine der Hauptschwierigkeiten angesehen werden.

Eine Kombination A unterscheidet sich dann von einer Kombination B,

wenn in A nicht exakt die gleichen Elemente (Objekte) vorhanden sind wie in B

A : 1,1,1,1,1 unterscheidet sich von B: 1,1,1,1,2; also 2 unterschiedliche Möglichkeiten
A : 1,2,2,3,4 unterscheidet sich von B: 1,1,2,3,4; also 2 unterschiedliche Möglichkeiten

Eine Anordnung kann sich darüberhinaus von einer anderen Anordnung unterscheiden, wenn bei identischen Kombinationen die Reihenfolgen nicht vergleichbar, aber bedeutsam sind.

1,2,3 liefert dieselbe Kombination wie 3,2,1. Wenn die Reihenfolge wichtig ist, gibt es aber mehr als eine -nämlich insgesamt 6 Möglichkeiten.

Ganz entscheidend für das Verständnis ist die Art und Weise, wie die Elemente aus der Ausgangsmenge gezogen werden bzw. welche Elemente sich in der Auswahl befinden dürfen und damit die Bedeutung der Begriffe ohne bzw. mit Wiederholung.

Grundsätzlich gilt:

Ohne Wiederholung: Aus der Ausgangsmenge kann ein bestimmtes Element nur einmal gezogen werden, bzw. in der Auswahl kann ein bestimmtes Element nur einmal vorkommen.

Mit Wiederholung: Aus der Ausgangsmenge kann ein bestimmtes Element (z.B. eine rote Kugel) mehrfach gezogen werden, bzw. in der Auswahl kann das gleiche Element mehrmals (mindestens 2 mal) auftreten!

ohne und mit Wiederholung bei Kombinationen und Variationen

ohne Wiederholung	mit Wiederholung
das ausgewählte Element verschwindet aus der Ausgangsmenge und ist nicht mehr verfügbar.	Das ausgewählte Element bleibt in der Ausgangsmenge verfügbar.
Beispiel für mögliche Auswahl: Aus N=5 Buchstaben sollen k=3 Buchstaben ausgewählt werden
Ausgangsmenge: A B C D E Auswahl 1: D Ausgangsmenge: A B C     E Auswahl 2: A Ausgangsmenge:     B C     E Auswahl 3:  B ; D wäre nicht möglich. Ausgangsmenge:        C     E  realisierte Auswahl: D A B	Ausgangsmenge A B C D E  Auswahl 1: D Ausgangsmenge A B C D E  Auswahl 2: A Ausgangsmenge A B C D E  Auswahl 3: D Ausgangsmenge A B C D E  realisierte Auswahl: D A D
Ein bestimmtes Element kann nur einmal ausgewählt werden. Es können höchstens N (hier 5) Elemente ausgewählt werden (k kleiner oder gleich N)	Ein bestimmtes Element kann mehrmals ausgewählt werden. Es können prinzipiell beliebig viele Elemente ausgewählt werden. (k kann größer, gleich  oder kleiner als N sein.)
typische Situationen ohne Wiederholung	typische Situationen mit Wiederholung
meist vorliegende konkrete Einzelelemente, aus denen einmal  k Elemente ausgewählt werden müssen, z.B.: Ziehung der Lottozahlen Zielankunft der Medaillengewinner in einem Lauf Aus Apfel, Birne, Orange, Banane 2 Früchte auswählen. mögliche Paare aus den 10 verfügbaren Versuchspersonen bilden. die 5 Personen aus 1000, die das Preisrätsel gewonnen haben. die 3 schlechtesten aus 10 bestimmten Produktmarken	Elemente, die sich beliebig oft auswählen lassen: Ziehen mit Zurücklegen: Ausgewähltes Element wird notiert und in die Ausgangsmenge zurückgelegt. Automatisches Nachrücken eines Elementes: Bei der Auswahl eines Elementes rückt das gleiche Element nach. (z.B. Zigarettenautomat, ein Bier aus Bierfass) Gleiches Element steht immer zur Auswahl: z.B.Zahlentastatur: mögliches Ergebnis aus k=5 Auswahlen: 66667 - Tonfolge auf dem Klavier anschlagen - Würfeln (N=Punkte, k= Würfe) - mögliche Ziffern (N) beim Zahlenschloss - Binärcode (N=2, k=Länge des Codes)

Ohne Wiederholung kann man sich sehr gut anhand der Lottomaschine vorstellen. Ist eine Kugel, die eine bestimmte Zahl repräsentiert, ausgewählt worden, dann ist sie aus der großen Trommel verschwunden und steht zur weiteren Auswahl nicht mehr zur Verfügung:.

Mit Wiederholung läßt sich sehr schön daran demonstrieren, wenn Sie einen Text mit dem Computer schreiben wollen. Tippen Sie auf den Buchstaben A, so erscheint dieser auf dem Bildschirm, ist aber weiterhin jederzeit verfügbar: Die Auswahl k kann sehr wohl größer sein als die Ausgangsmenge N (alle Buchstaben), wenn Sie etwa an umfangreiche Texte denken.
Eine Bedingung mit Wiederholung liegt auch vor, wenn die Auswahl vorgenommen und anschließend wieder in die Ausgangsmenge zurückgelegt wird. (z.B. Urnenmodell mit Zurücklegen: Rote Kugel wird aus der Urne entnommen, als Elementenauswahl markiert und anschließend wieder in die Urne zurückgelegt, bevor das nächste Element gezogen wird.)
Eine Bedingung mit Wiederholung kann auch künstlich hergestellt werden bzw. vorliegen. Wenn Sie etwa unter 5 verschiedenen Früchten 3 auswählen sollen, und man legt ihnen nicht fünf verschiedene Früchte, sondern 5 Körbe mit hinreichend vielen Exemplaren dieser Früchte zur Auswahl, dann können sie natürlich mehrfach eine bestimmte Frucht (etwa 3 Äpfel aus dem Apfelkorb) auswählen. Sie können in einer Kneipe vielleicht unter 3 Biersorten auswählen, aber solange ein bestimmtes Bier nachbestellen (wiederholen), bis das entsprechende Faß leer ist.

Die Beispiele sprechen nicht für sich. Man muss sich den Auswahlvorgang jeweils korrekt verdeutlichen!

Differenzierung: Beispiel 1
In einer Obstschale liegen 4 verschiedene Früchte. Wieviel Möglichkeiten gibt es, aus der Obstschale mit 4 Früchten jeweils 2 Früchte auszuwählen?

• Nur unter der Bedingung, daß es nur eine Obstschale mit 4 Früchten gibt, ich aus dieser Obstschale 2 Früchte nacheinander entnehme, sodaß ich z.B. nach dem gezogenen Apfel diesen nicht mehr als zweite Frucht auswählen kann, liegt eine Bedingung ohne Wiederholung vor.
• Bekomme ich nach jeder Fruchtauswahl eine neue Obstschale mit allen vier Auswahlmöglichkeiten, dann liegt die Bedingung mit Wiederholung vor.

Differenzierung: Beispiel 2
Sie sollen für einen Freund einen Eisbecher mit 3 Eisbällchen besorgen. Der Eismann hat 15 Eissorten zur Auswahl.

• Wenn ihr Freund 3 verschiedene Sorten meint, dann liegt eine Auswahl ohne Wiederholung zugrunde, denn dann darf eine Sorte nur einmal ausgewählt werden und nicht zweimal vorkommen.
• Will er aber nur 3 Eisbällchen ohne weitere Spezifizierung, dann können Sie ja auch von einer Sorte 3 Eisbällchen besorgen und sofern in allen Eiscontainern hinreichend viele Eisbällchen verfügbar sind, liegt dann eine Auswahl mit Wiederholung vor.

In einem ersten Auswahlprozess geht es darum, die möglichen Elementenzusammensetzungen (Kombinationen) aus der Ausgangsmenge zu bestimmen. In vielen Fällen genügt dies bereits. Entscheidend ist, dass ich die richtigen 6 Zahlen im Lotto getippt habe, irrelevant ist es, in welcher Reihenfolge ich die Zahlen angekreuzt oder in welcher Reihenfolge die Lottomaschine die Zahlen gezogen hat. Wenn die ersten 3 Anrufer alle 100 DM bekommen, dann ist gleichgültig, wer von den drei Ersten zuerst oder zuletzt angerufen hat.

In einem nächsten Schritt kann es darum gehen, die ausgewählten Elemente noch zu ordnen und die Frage zu stellen, in wie viele mögliche Reihenfolgen alle möglichen Elementenzusammensetzungen eingeteilt werden können. Wenn etwa die 3 besten unter den möglichen 8 Läufern uneinholbar die Ziellinie anstreben, dann stellt sich meist die Frage, wieviele Möglichkeiten jetzt noch bestehen, die Medaillen unter diesen 3 Läufern auszumachen. Ein Zahlenschloss kann ich nicht knacken, wenn ich nur die Zahlen kenne. Ich muss zusätzlich die Reihenfolge der Zahlen wissen. Ist die Reihenfolge von Relevanz, so sind unter sonst gleichen Bedingungen immer mehr Möglichkeiten zu erwarten.

• Bei Kombinationen ist die Reihenfolge irrelevant.
• Bei Variationen und Permutationen ist die Reihenfolge relevant