Kombinationen (Reihenfolge irrelevant)

Bei Kombinationen geht es grundsätzlich darum, einige Elemente aus der Ausgangsmenge lediglich auszuwählen.

Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, eine bestimmte Anzahl von Elementen der Ausgangsmenge auszuwählen ?

Voraussetzungen

1. Alle (N) Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander.
2. Es werden einige (k) Elemente ausgewählt.
3. Ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden.

zentrale Frage: Wieviele mögliche unterschiedliche Elementenzusammensetzungen (=Kombinationen) gibt es ?

Einfaches Beispiel

Es stehen 4 unterschiedliche Elemente zur Verfügung. Zieht man ein Element, so verschwindet es aus der Ausgangsmenge und kann nicht noch einmal gezogen werden. Es sollen 2 Elemente ausgewählt werden. Wieviele mögliche unterschiedliche Kombinationen gibt es ?

                 mögliche unterschiedliche   mögliche Reihenfolgen
Ausgangsmenge    Auswahlen (Kombinationen)   irrelevant

1 2 3 4          12 13 14 23 24 34

N=4              k=2

A = N!/((N-k)!*k!)
A = 4!/((4-2)!*2!)  = 6

Es gibt 6 Möglichkeiten ohne Wiederholung 2 Elemente aus 4 Elementen auszuwählen.

Prototypisches Beispiel

Ziehung der Lottozahlen
Aus 49 nummerierten Kugeln werden nacheinander 6 Kugeln gezogen.
Wieviele mögliche 6 Zahlen können ausgewählt werden ?

Wichtig:
          Es werden einige Kugeln aus mehreren Kugeln gezogen.
          Eine gezogene Kugel kann nicht noch einmal ausgewählt werden.
          Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden.

N=49; k=6;
A = N!/((N-k)!*k!)
A= 49!/((49-6)!*6!)   = 13983816

Es gibt ca. 14 Millionen Möglichkeiten, 6 Zahlen im Lotto anzukreuzen.

Voraussetzungen

1. Alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander.
2. Es werden einige Elemente ausgewählt.
3. Ein Element kann mehrmals ausgewählt werden.

zentrale Frage

Wieviele mögliche unterschiedliche ausgewählte Elementenzusammensetzungen (=Kombinationen) gibt es ?

einfaches Beispiel

Es stehen 4 unterschiedliche Elemente jederzeit zur Verfügung. D.h.: Zieht man ein Element, so verschwindet es nicht aus der Ausgangsmenge, sondern bleibt erhalten. Man kann sich z.B. eine Kugelspendermaschine vorstellen, die 4 verschieden farbige Kugeln zum Entnehmen anbietet. Zieht man die rote Kugel, dann kommt von unten die nächste rote Kugel nach.

Es sollen 2 Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt werden. Wieviele mögliche unterschiedliche Elementenzusammensetzungen gibt es ?

                mögliche Auswahlen                Reihenfolge
Ausgangsmenge   (Kombinationen)                   irrelevant

1 2 3 4         11 12 13 14 22 23 24 33 34 44

N=4             k=2

A = (N+k-1)!/((N-1)!*k!)
A = (4+2-1)!/(  3!  *2!) = 120/12 = 10

Es gibt 10 Möglichkeiten mit Wiederholung aus 4 Elementen 2 Elemente auszuwählen.
Wiederholung erkennt man hier an den Elementenzusammensetzungen (11,22,33,44). Dasselbe Element kann eben hier genau 2 mal gezogen werden, weil k=2.

Prototypisches Beispiel

3 Päckchen Zigaretten aus dem Zigarettenautomat
Aus einem prall gefüllten Zigarettenautomat mit 15 Fächern kann man 15 verschiedene Zigarettensorten auswählen. Sie erhalten den Auftrag, 3 Päckchen Zigaretten zu besorgen, wobei es egal ist, um was es sich dabei handelt, da es dem Raucher nur um Nikotin geht.
Wieviele mögliche Zusammensetzungen von unterschiedlichen 3 Zigarettenpäckchen gibt es.
Wichtig:

Für jede Ziehung stehen alle Zigarettensorten zur Verfügung. D.h. sie können mehrmals dieselbe Marke ziehen (mit Wiederholung).

Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Zigarettenpäckchen gezogen werden (Reihenfolge irrelevant).

N = 15 Zigarettensorten
k =  3  Zigarettenpäckchen

A = ( N+k-1)!/(( N-1)!*k!)
A = (15+3-1)!/((15-1)!*3!)
A = 680 mögliche unterschiedliche 3 Zigarettenpäckchenkombinationen