Approximation durch Spline-Interpolation: Lösung zu Aufgabe 2

Da drei Punkte (sogenannte "Knoten" oder "Stützpunkte") vorgegeben sind, erhält man zwei Intervalle, für die die beiden Teilfunktionen des kubischen Splines zu finden sind:

Diese Teilintervalle sind: [0; 100] und [100; 1000].

Daher werden für den kubischen Spline zwei Spline-Funktionen (ganzrationale Funktionen 3. Grades) benötigt:

(Beachten Sie: z. B a2 entspricht dem Koeffizienten a₂ usw.)

Die sich aus den zwei Intervallen ergebenden "Stützstellen" x_s sind:
x_s=0 (Randstelle), x_s=100, x_s=1000 (Randstelle).

Für die zu bestimmenden beiden Spline-Funktionen ist gefordert:

1.) Übereinstimmung der Funktionswerte bei x_s (und Randstellen):
F1(0)=0, F1(100)=200, F2(100)=200, F2(1000)=0

2.) Übereinstimmung der ersten Ableitungen bei x_s (ohne Randstellen):
F1'(100)=F2'(100)

3.) Übereinstimmung der zweiten Ableitungen bei x_s (und Randstellen):
F1''(0)=0, F1''(100)=F2''(100), F2''(1000)=0

DERIVE liefert als Lösung dieses Gleichungssystems:
(Dazu verwendet man den Befehl
SOLVE([F1(0)=0,F1(100)=200,...],[a1,b1,c1,d1,a2,..]) oder man löst das obige Gleichungssystem mit dem Befehl Solve > System.)

Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File  Approximation3.mth im Anhang!
Ausdruck des Graphen:

Anmerkung: Der gefundene kubische Spline erscheint allerdings für
den Straßenverlauf weniger geeignet und zeigt daher nochmals:

Eine kubische Spline-Interpolation durch möglichst viele einzelne Kurvenstücke von Polynomfunktionen 3. Grades ist einer Interpolation durch nur ein Gesamtpolynom hohen Grades klar überlegen ist. Man kann sagen:
Je höher die Anzahl der vorgegebenen Stützstellen (Knoten) ist, desto überlegener ist der kubische Spline einer Interpolation durch nur ein Gesamtpolynom, dessen Graph durch alle Knoten verläuft.

Und: Durch geeignete Verengung der Stützpunktabstände kann man starken Abweichungen (Überschwingern) vorbeugen.