Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionsgleichungen |
Lösung |
Approximation durch Spline-Interpolation: Lösung zu Aufgabe 1-1
Da es sich um eine ganzrationale Funktion
mindestens 4. Grades handelt, macht man für die Funktionsgleichung
den Ansatz:
f(x)=a·x4
+ b·x3 + c·x2 + d·x + e
mit
a, b, c, d, e ÎIR.
Aus den vorgegebene Punkten ergibt sich:
(1) f(0) = 0 Û a·04
+ b·03 + c·02 + d·0 + e
= 0 Û e = 0
(2) f(1) = 1Û
a·14 + b·13
+ c·12 + d·1 + e
= 1 Û a + b + c + d = 1
(3) f(2) = 4Û
a·24 + b·23
+ c·22 + d·2 + e =
4 Û 16a + 8b + 4c +2d = 4
(4) f(4) = 5Û
a·44 + b·43
+ c·42 + d·4 + e
= 5 Û 256a + 64b + 16c + 4d = 5
(5) f(6) = 5Û a·64
+ b·63 + c·62 + d·6 + e
= 5 Û 1296a + 216b + 36c + 6d = 5
DERIVE liefert als Lösung dieses Gleichungssystems:
(Dazu verwendet man den Befehl SOLVE([F(0)=0,F(1)=1,...],[a,b,c,d,e])
oder man löst das obige Gleichungssystem mit dem Befehl Solve > System.)
Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File
Approximation1.mth
im Anhang!
Ausdruck des Graphen:
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