Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionsgleichungen |
Lösung |
Übungsaufgaben: Lösung zu Aufgabe 5
Da es sich um eine ganzrationale Funktion
3. Grades handelt, macht man für die Funktionsgleichung den Ansatz:
f(x)=a·x3
+ b·x2 + c·x + d mit
a, b, c, d ÎIR.
Die erste und die zweite Ableitung der Funktion
f zu f(x) = ax3 + bx2 + cx + d lauten dann:
f
'(x) = 3ax2 + 2bx + c und
f '' (x) = 6ax + 2b
Damit ergibt sich:
(1) f(0) = 0Û a·03
+ b·02 + c·0 + d = 0 Û
d = 0
(2) f(1) = 1Û a·13
+ b·12 + c·1 + d = 1 Û
a + b + c = 1
(3) f '(1) = 0 Û
3·a·12 + 2·b·1
+ c = 0 Û 3a + 2b + c = 0
(4) f ''(3) = 0 Û 6a·3
+ 2b = 0 Û
18a + 2b = 0
DERIVE liefert als Lösung dieses Gleichungssystems:
(Dazu verwendet man den Befehl SOLVE([F(0)=0,F(1)=1,...],[a,b,c,d])
oder man löst das obige Gleichungssystem mit dem Befehl Solve > System.)
Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File
Übungsaufgabe
5.mth
im Anhang!
Ausdruck des Graphen zu f:
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