Übungsaufgaben: Lösung zu Aufgabe 17a

Da die Kostenfunktion K eine ganzrationale Funktion 3. Grades sein soll, macht man für die Funktionsgleichung den Ansatz:
K(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d mit a, b, c, d Î IR und x ³ 0 .

Es gilt K(x) = K_var(x) + 81 (da die fixen Kosten 81 GE betragen).

Der Ansatz für die variablen Kosten K_var(x) lautet: K_var(x) = a·x³ + b·x² + c·x

Die erste Ableitung des Funktionsterms K_var(x) lautet dann:   K'_var(x) = 3·a·x² + 2·b·x + c

Aus der Tabelle ergeben sich zunächst folgende 3 Bedingungen für die variablen Kosten K_var:

(1) K_var(6) = 378
(2) K_var(10) = 910
(3) K_var(12) = 1404

Dieses Gleichungssystem löst man nun mit DERIVE. K_var(x) setzt man zu F(x):

Entweder benutzt man nun den SOLVE-Befehl in DERIVE :

SOLVE([f(6) = 378, f(10) = 910, f(12) = 1404], [a,b,c,d])

oder man löst das vollständige lineare Gleichungssystem mit dem Befehl SOLVE > SYSTEM:

(1) f(6) = 378Û a·6³ + b·6² + c·6 = 0
(2) f(10) = 910 Û a·10³ + b·10² + c·10 = 910
(3) f(12) = 1404 Û a·12³ + b·12² + c·12 = 1404

DERIVE liefert als Lösung dieses Gleichungssystems für die variablen Kosten:
 
Daher ergibt sich die Gleichung der Kostenfunktion K zu:

Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File  Übungsaufgabe 17.mth  im Anhang!