Übungsaufgaben: Lösung zu Aufgabe 13a

Da die Reproduktionskurve eine ganzrationale Funktion 3. Grades sein soll, macht man für die Funktionsgleichung den Ansatz:
f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d mit a, b, c, d Î IR.

Die erste Ableitung der Funktion f lautet dann:   f '(x) = 3·a·x² + 2·b·x + c
 
Aus der Tabelle bzw. dem Text ergibt sich:

(1) f(0) = 0
(2) f '(10) = 0
(3) f(10) = 7
(4) f(9) = 7,2

Entweder benutzt man nun den SOLVE-Befehl in DERIVE :

SOLVE([f(0)=0, f '(10)=0, f(10)=7, f(9)= 7.2],[a,b,c,d])

oder man löst das vollständige lineare Gleichungssystem mit dem Befehl SOLVE > SYSTEM:

(1) f(0) = 0 Û a·0³ + b·0² + c·0 + d = 0
(2) f '(10) = 0 Û 3·a·10² + 2·b·10 + c = 0
(3) f(10) = 7 Û a·10³ + b·10² + c·10 + d = 0
(4) f(9) = 7,2 Û a·9³ + b·9² + c·9 + d = 7,2

DERIVE liefert als Lösung dieses Gleichungssystems:
                             
Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File  Übungsaufgabe 13.mth  im Anhang!