Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionsgleichungen |
Lösung |
Innermathematische Steckbriefaufgaben: Lösung zu Aufgabe 1
Da es sich um eine ganzrationale Funktion 8. Grades handelt, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist, macht man für die Funktionsgleichung den vereinfachten Ansatz:
f(x) = a·x8 + b·x6 + c·x4 +d·x2+e mit a, b, c, d, e Î IR .
Die erste Ableitung der Funktion f lautet
dann:
f
'(x) = 8·a·x7 + 6·b·x5 + 4·c·x3
+2·d·x
Damit ergibt sich:
(1)
f(0) = 8 Û e = 8
(2) f(2) = 8 Û
a·256
+ b·64
+ c·16
+ d·4
+8 = 8 (
e = 8 bereits eingesetzt )
(3) f
'(2) = 0 Û a·1024
+ b·192
+ c·32
+ d·4
= 0
(4) f(Ö2) =
4 Û a·16
+ b·8
+ c·4
+ d·2
+ 8 = 4
(5) f(1) = 8 Û
a + b + c + d + 8 = 8
DERIVE liefert als Lösung
dieses Gleichungssystems :
(Dazu verwendet man entweder den Befehl SOLVE([F(0)=8,f(2)=8,...],[a,b,c,d,e])
oder man verwendet den Befehl Solve > System. In letzterem Fall ist es
sinnvoll nur die Gleichungen (2) bis (5) zu betrachten, da man sich so
Schreibarbeit ersparen kann.)
Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File "Innermathematische Steckbriefaufgabe 1.mth" im Anhang!
Als Graph dieser Polynomfunktion ergibt sich nun bei
entsprechender
Skalierung (Set>Scale) im Graphikfenster von DERIVE :
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