Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionsgleichungen |
Lösung |
Bestimmung einer Biegelinie: Lösung zu Aufgabe
2.1
Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion 4.
Grades lautet:
f(x) = a·x4 + b·x3 + c·x2 +d·x+e mit
a, b, c, d, e Î IR .
Die erste und zweite Ableitung
der Funktion f lauten dann:
f '(x)
= 4·a·x3 + 3·b·x2 +
2·c·x +d
f ''(x) = 12·a·x2 + 6·b·x + 2·c
Aus den ersten 4 Bedingungen ergibt sich:
(1) f(0) = 0 Û
e = 0
(2) f '(0) = 0 Û d
= 0
(3) f ''(0) = 0 Û c
= 0
(4) f(1) = 0
Û a + b = 0 Û
b = - a
Daher ergibt sich als vorläufige
Gleichung: f(x)
= a·x4 - a·x3 und
f
'(x) = 4·a·x3 - 3·a·x2
Bestimmung von xE und a aus den Bedingungen (5) und (6):
(5) f '(xE) = 0 Û
4·a·xE3
- 3·a·xE2
= 0 Û
a·xE2·(4xE
- 3) = 0
Da a¹0 und xE>0 gilt,
folgt: 4xE
- 3 = 0 Û
xE
= 0,75
Daher ergibt sich in (6):
(6) f(xE) = - 0, 105 Û
a·0,754
- a·0,753 = - 0,105 Û
a·(0,754
- 0,753) = - 0,105
Û
a = - 0,105 : (0,754
- 0,753)
(z.B. mit DERIVE berechnen! )
Als Funktionsgleichung ergibt sich:
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