Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionsgleichungen

Hilfe

Rutsche: Hilfe 4 zu Aufgabe 2.4

Die 6 Bedingungen, die auf Gleichungen führen, sind:
(1) f(0) = 4
(2) f '(0) = 0
(3) f(e) = 0
(4) f ' (e) = 0
(5) f ''(e/2) = 0 (die steilste Stelle ist bei der Wendestelle x_w = e/2 )
(6) f '(e/2) = - 1 (denn die Steigung der Tangente muss - 1 sein, da der Winkel 45^o ist )

Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion f   3. Grades lautet:
f(x)=a·x³ + b·x² + c·x + d    mit a, b, c, d ÎIR.
Þ f '(x) = 3ax² + 2bx + c    
Þ f ''(x) = 6ax + 2b   

Formen Sie nun die sechs Gleichungen unter Anwendung von f(x), f '(x) und f ''(x) um!

(1) f(0) = 4 Û a·0³ + b·0² + c·0 + d = 4 Û d= 4
(2) f '(0) = 0 Û 3·a·0² + 2·b·0 + c = 0 Û c = 0
(3) f(e) = 0 Û a·e³ + b·e² + c·e + d = 0 Û ...
(4) f '(e) = 0 Û ...
(5) f ''(e/2) = 0 Û ...
(6) f '(e/2) = - 1 Û ...

Die Gleichungen führen auf ein nicht-lineares Gleichungssystem!