Ganzrationale Funktionen in der Wirtschaft - Eine kurze Einführung

(erstellt in Anlehnung an: L. Würzberg, Ganzrationale Funktionen in der Wirtschaft. Unterrichts-Materialien Analysis. Stark Verlag Freising, N.1.15)

Viele wirtschaftliche (ökonomische) Zusammenhänge lassen sich mit Hilfe von (ganzrationalen) Funktionen beschreiben bzw. untersuchen. So ist zum Beispiel bei der Serienproduktion die Rentabilität der Fertigung unter anderem auch von der produzierten Stückzahl abhängig. Unter Rentabilität versteht man das Verhältnis des Gewinns einer Unternehmung zu dem eingesetzten Kapital in einem Rechnungszeitraum.

L. Würzbach schreibt dazu: "So können die ersten Erzeugnisse einer Serie meist nicht zu einem kostendeckenden Preis verkauft werden. Die Anfangskosten, z. B. für die Produktionsvorbereitung und die anteiligen allgemeinen Kosten, z. B. für Entwurf und Verwaltung, würden sich zu stark im Preis niederschlagen. So stellt sich erst bei genügend großer Zahl hergestellter Waren ein Gewinnerlös für das Unternehmen ein. Andererseits kann aber auch eine zu große zu produzierende Stückzahl die Kosten, beispielsweise für zusätzlich einzustellende Arbeitskräfte, in die Höhe treiben."

Die Wirtschaftsmathematik versucht daher mit Hilfe von (ganzrationalen) Funktionen Aussagen über das Kosten-Nutzen-Verhältnis in Abhängigkeit von der Stückzahl zu machen und verwendet dabei u. a. folgende drei Funktionen (nach L. Würzbach):

1. Die Erlösfunktion E(x)

Der Erlös E(x) ist die Geldmenge, die durch den Verkauf einer bestimmten Anzahl Waren (= x,   x ³ 0 ) zu einem bestimmten Preis (= p) erzielt wird. In dem hier verwendeten Modell ist der Erlös E(x) eine (gegebenenfalls abschnittsweise definierte) linearen Funktion mit dem Stückpreis p als Anstieg:

E(x) = p · x         p = Stückpreis,  x = Anzahl verkaufte Produkte / Waren

2. Die Kostenfunktion K(x)

Alle in einem Unternehmen anfallenden Kosten bezeichnet man als Gesamtkosten K(x) ( = Kostenfunktion).
Die Gesamtkosten setzen sich im Allgemeinen zusammen aus den fixen Kosten K_fix (z. B. Mieten, Abgaben, Verwaltung etc.) und den variablen Kosten K_var (Materialkosten, Fertigungslöhne usw.) zusammen:

K(x) = K_fix + K_var         x ³ 0

Die Kostenfunktion K(x) hat häufig einen "s-förmigen Kurvenverlauf", was eine Annäherung durch eine ganzrationale Funktion 3. Grades nahelegt:

K(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d       x ³ 0
K_fix = d
K_var = a·x³ + b·x² + c·x       x ³ 0

3. Die Gewinnfunktion G(x)

Der Gewinn G(x) ist die Differenz aus Erlös und Kosten. Er kann sowohl positiv (Nutzen, Gewinn) als auch negativ (Verlust) sein:

G(x) = E(x) - K(x)       x ³ 0

Drei Begriffe spielen dabei in der Wirtschaftsmathematik eine entscheidende Rolle:

a) die Nutzen- oder Gewinnschwelle: Darunter versteht man die Produktionsmenge / Anzahl x, bei der der Erlös erstmals die anfallenden Kosten gerade abdeckt: G(x) = 0    [ x erste (positive) Nullstelle von G(x)]

b) das Nutzen- oder Gewinnmaximum: Darunter versteht man die Produktionsmenge / Anzahl x, bei der der Gewinn am größten ist: G'(x) = 0    [x lokales Maximum]

c) die Nutzen- oder Gewinngrenze: Darunter versteht man die Produktionsmenge / Anzahl x, bei deren Überschreiten die Kosten größer als der Erlös werden: G(x) = 0    [x zweite (positive) Nullstelle von G(x)]