Crashkurs Grenzwerte bei rationalen Funktionen: Aufgaben

Grenzwertbestimmung bei rationalen Funktionen:
Aufgaben

I) Grenzwerte für x Ў Ѕ

1) Klare Grenzwerte:

1.			5 geteilt durch eine sehr große positive(negative) Zahl ergibt eine sehr kleine positive(negative) Zahl, also Б0 . G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung von unten und oben her.
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2.			-3 geteilt durch eine sehr große positive(negative) Zahl ergibt eine sehr kleine positive(negative) Zahl, also Б0 . G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung von unten und oben her.
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3.			Im Nenner spielt nur x² für große Zahlen eine Rolle. Durch das Quadrat werden auch negative Zahlen positiv. 5 geteilt durch eine sehr große positive Zahl ergibt eine sehr kleine positive Zahl, also 0⁺ . G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung nur von oben her.
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4.			Durch das Quadrat im Nenner werden auch negative Zahlen positiv. -3 geteilt durch eine sehr große positive Zahl ergibt eine sehr kleine negative Zahl, also 0Џ . G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung nur von unten her.
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2) Prinzip Weglassen:

1.			Im Zähler werden alle Potenzen unter x, im Nenner alle unter x² sowie alle Konstanten weggelassen und dann x gekürzt. 1 geteilt durch eine sehr große positive(negative) Zahl ergibt Б0 . G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung von unten und oben her.
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2.			Im Zähler werden alle Potenzen unter x², im Nenner alle unter x sowie alle Konstanten weggelassen und dann x gekürzt. Als Grenzwert ergibt sich ganz klar БЅ G_f hat eine schräge Asymptote , da der Zählergrad um 1 höher ist, als der Nennergrad.
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3.			Im Zähler und im Nenner werden alle Potenzen unter x² sowie alle Konstanten weggelassen und dann x² gekürzt. Als Grenzwert ergibt sich ganz klar -2/3 . G_f hat die waagrechte Asymptote y=-2/3 .
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4.			Im Zähler werden alle Potenzen unter x², im Nenner alle unter x³ sowie alle Konstanten weggelassen und dann x² gekürzt. -2 geteilt durch eine sehr große positive(negative) Zahl ergibt eine sehr kleine negative(positive) Zahl, also 0. G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung von unten und oben her.
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3) Rechnerische Lösung:

1.			Nach Ausklammern von x im Zähler und Nenner und Kürzen, geht der Nenner gegen 1, der Zähler gegen +Ѕ , da die Terme 2/x und 1/x gegen Null gehen. G_f hat eine schräge Asymptote , da der Zählergrad um 1 höher ist, als der Nennergrad.
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Nach Ausklammern von x² im Zähler und Nenner und Kürzen, geht der Zähler gegen 0, der Nenner gegen 1 , da alle Terme mit 1/x² und 1/x gegen Null gehen.
Im Zähler bestimmt nur der Term 1/x das Vorzeichen der Null.

G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung von unten und oben her.

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3.			Nach Ausklammern von x² im Zähler und Nenner und Kürzen, geht der Zähler gegen -2, der Nenner gegen 3 , da die Terme 2/x² und 2/x gegen Null gehen. G_f hat die waagrechte Asymptote y=-2/3 .
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4.			Nach Ausklammern von x⁴ im Zähler und Nenner und Kürzen, geht der Zähler gegen 0, der Nenner gegen 1 , da alle Terme mit 1/x² und 1/x⁴ gegen Null gehen. Im Zähler bestimmt nur der Term -2/x² das Vorzeichen der Null und zwar Minus . G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung nur von unten her.
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4) Allgemeine Merkregel:

1.			Der Zählergrad z=2 ist größer als der Nennergrad n=1, deshalb als Ergebnis Ѕ . Der Zähler ist für große positive(negative) Zahlen immer positiv, der Nenner wechselt das Vorzeichen, deshalb auch Vorzeichenwechsel beim Ergebnis. G_f hat eine schräge Asymptote , da der Zählergrad um 1 höher ist, als der Nennergrad.
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2.			Der Zählergrad z=1 ist kleiner als der Nennergrad n=2, deshalb als Ergebnis 0. Der Nenner ist für große positive(negative) Zahlen immer positiv, der Zähler wechselt das Vorzeichen, deshalb auch Vorzeichenwechsel beim Ergebnis. G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung von unten und oben her.
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3.			Der Zählergrad z = 2 ist gleich dem Nennergrad n = 2 . Deshalb als Ergebnis: a_z/a_n = - 2/3 . G_f hat die waagrechte Asymptote y=-2/3 .
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4.			Der Zählergrad z=2 ist kleiner als der Nennergrad n=4, deshalb als Ergebnis 0. Der Nenner ist für große positive(negative) Zahlen immer positiv, der Zähler immer negativ wegen -2x² , deshalb Null Minus. G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung nur von unten her.
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5.			Der Zählergrad z=2 ist kleiner als der Nennergrad n=3, deshalb als Ergebnis 0. Der Zähler ist für große positive(negative) Zahlen immer negativ wegen -2x² , der Nenner wechselt das Vorzeichen, deshalb Null Minus/Plus. G_f hat die waagrechte Asymptote y=0 mit Annäherung von unten und oben her.
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II) Grenzwerte für x Ў Zahl

1) Klarer Grenzwert:

1.			5 geteilt durch eine sehr kleine positive(negative) Zahl ergibt eine sehr große positive(negative) Zahl, also БЅ . G_f hat bei x=3 die senkrechte Asymptote x=5 mit Vorzeichensprung.
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2.			2 geteilt durch eine sehr kleine positive Zahl ergibt eine sehr große positive Zahl, also БЅ . G_f hat bei x=1 die senkrechte Asymptote x=1 ohne Vorzeichensprung.
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3.			Dieser Grenzwert hat eigentlich keine wichtige Bedeutung. Er sagt nur aus, dass man sich dem Punkt (3/0) von beiden Seiten her nähert.
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4.			-2 geteilt durch eine sehr kleine positive(negative) Zahl ergibt eine sehr große negative(positive) Zahl, also -/+Ѕ . Das Faktorisieren des Nenners macht die Entscheidung über die Art der Annäherung (links-rechts) einfacher. G_f hat bei x=1 die senkrechte Asymptote x=1 mit Vorzeichensprung.
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5.			-2 geteilt durch eine sehr kleine negative(positive) Zahl ergibt eine sehr große positive(negative) Zahl, also БЅ . Das Faktorisieren des Nenners macht die Entscheidung über die Art der Annäherung (links-rechts) einfacher. G_f hat bei x=0 die senkrechte Asymptote x=0 mit Vorzeichensprung.
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2) Unklarer Grenzwert 0/0 - Faktorisieren

1.			Nach Faktorisieren von Zähler und Nenner und Kürzen von x-3 verschwindet die gemeinsame Nullstelle 3 und es ergibt sich der klare Grenzwert 9/2. Die Stelle x = 3 ist eine stetig behebbare Definitionslücke von f(x).
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2.			Nach Faktorisieren von Zähler und Nenner und Kürzen von x² bleibt die gemeinsame Nullstelle 0 im Zähler stehen und es ergibt sich der klare Grenzwert 0. Die Stelle x = 0 ist eine stetig behebbare Definitionslücke von f(x).
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3.			Nach Faktorisieren von Zähler und Nenner und Kürzen von x+2 bleibt die gemeinsame Nullstelle -2 im Nenner stehen und es ergibt sich der klare Grenzwert -/+Ѕ . G_f hat bei x=-2 die senkrechte Asymptote x=-2 mit Vorzeichensprung.
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4.			Nach Faktorisieren von Zähler und Nenner und Kürzen von x bleibt die gemeinsame Nullstelle 0 doppelt im Nenner stehen und es ergibt sich der klare Grenzwert +Ѕ . G_f hat bei x=0 die senkrechte Asymptote x=0 ohne Vorzeichensprung.
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3) Unklarer Grenzwert 0/0 - Regel von de l'Hospital

1.			Nach einmaligem getrennten Ableiten von Zähler und Nenner kann 1 eingesetzt werden und es ergibt sich der klare Grenzwert Zahl/0 = ∞. G_f hat bei x=1 die senkrechte Asymptote x=1 mit Vorzeichensprung.
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2.			Nach einmaligem getrennten Ableiten von Zähler und Nenner kann 3 eingesetzt werden und es ergibt sich der klare Grenzwert 1/2. Die Stelle x = 3 ist eine stetig behebbare Definitionslücke von f(x).
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3.			Nach einmaligem getrennten Ableiten von Zähler und Nenner kann -1 eingesetzt werden und es ergibt sich der klare Grenzwert 0/Zahl = 0 . Die Stelle x = -1 ist eine stetig behebbare Definitionslücke von f(x).
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4.			Erst nach zweimaligem getrennten Ableiten von Zähler und Nenner kann 0 eingesetzt werden und es ergibt sich der klare Grenzwert Zahl/0 = ∞ . G_f hat bei x=0 die senkrechte Asymptote x=0 mit Vorzeichensprung.
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Grenzwertbestimmung bei rationalen Funktionen: Aufgaben