| Station 12 | Umkehrabbildungen |
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An dieser Station werden Sie die Matrizenmultiplikation üben und sich mit den dadurch erzeugten geometrischen Abbildungen beschäftigen. Sie werden dann einige spezielle Matrizenprodukte kennen lernen und erfahren, wie und unter welchen Bedingungen man Abbildungen umkehren kann.
Gegeben sind die Matrizen :
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Aufgabe 1
| a) | Geben Sie an, welche Abbildungen durch die 6 Matrizen dargestellt werden. |
| b) |
Berechnen Sie
die folgenden Matrizenprodukte: |
Aufgabe 2
Die Produktmatrizen
aus Aufgabe 1b) stellen verkettete Abbildungen dar (vgl. Station
11).
Welche Abbildungen stellen die berechneten Produktmatrizen dar?
Für die Lösung dieser Aufgabe steht Ihnen ein Hilfsprogramm
zur Verfügung.
Aufgabe 3
Bei den verketteten
Abbildungen nimmt das Produkt 
eine besondere Stellung ein, denn bei Multiplikation der beiden Matrizen ergibt
sich die Einheitsmatrix und nach
der Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen erhält man wieder
die ursprüngliche Figur.
Wie auch in der Analysis nennen wir die Abbildung, die durch die Matrix M2
gegeben wird, die Umkehrabbildung von M1.
Es stellt sich nun die
Frage, ob es zu jeder Abbildung eine Umkehrabbildung gibt?
Oder für Matrizen formuliert:
Gibt es zu jeder Matrix A eine Matrix B mit der Eigenschaft 
?
Untersuchen Sie die gegebenen Matrizen unter diesem Aspekt.
Aufgabe 4
Zur Matrix M5 lässt sich keine inverse Matrix berechnen. Begründen Sie, warum die Abbildung, die durch die Matrix M5 gegeben wird, keine Umkehrabbildung besitzen kann. Beobachten Sie, wohin z.B die Punkte P(3|2) und Q(3|7) durch die Matrix Matrix M5 abgebildet werden.
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