Station 18

Schulfest

Die Ernst-Barlach-Gesamtschule feiert aus Anlass ihres 15-jährigen Bestehens ein großes Schulfest. Um 14.00 Uhr befinden sich 400 Besucher in der Aula, wo ein Rockfestival stattfindet. Die übrigen 800 Besucher halten sich zu diesem Zeitpunkt im Freien auf dem Schulgelände auf.
Nach jeder Stunde befinden sich 75 % der Aulabesucher immer noch in der Aula, während nur 62,5 % der Personen auf dem Schulhof weiterhin dort die Stände besuchen. Die Gesamtzahl der Besucher bleibt bis in die späten Abendstunden konstant.

Es sei x_n := Anzahl der Besucher in der Aula nach n Stunden
und     y_n := Anzahl der Besucher auf dem Schulhof nach n Stunden.

a) Erläutern Sie, dass für die Übergangsmatrix A gilt A = und berechnen Sie die Verteilung nach 1, nach 2 und nach 3 Stunden.

b) Untersuchen Sie, ob es eine Verteilung der 1200 Besucher gibt, die sich in den weiteren Stunden nicht mehr ändert. Für eine solche stabile Verteilung gilt . Sie nennt man auch Fixvektor oder Fixverteilung der Matrix A.

*c) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass gilt:  = .

d) Berechnen Sie mithilfe der Gesetzmäßigkeit aus c) die Grenzverteilung. Nach wie vielen Stunden wird sie theoretisch erreicht? Runden Sie sinnvoll.

*e) Durch die Matrix A ist eine lineare Abbildung des R² auf sich definiert. Untersuchen Sie für welche reellen Zahlen (griechisch: lambda) Lösungen der Gleichung mit existieren. Diese Zahlen nennt man Eigenwerte der Matrix A.

f) Auch das Felix-Klein-Gymnasium feiert ein Schulfest. Eine Zählung nach zwei Stunden ergibt: 607,5 Besucher in der Aula und 472,5 im Freien (ein Besucher stand genau im Übergangsbereich und wurde daher jeweils zur Hälfte mitgezählt).
Die Veränderung der Besucherströme entspricht ebenfalls der Übergangsmatrix A. Wie lautete die Anfangsverteilung?

* = Wahlaufgabe mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad 

Lösung