Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionsgleichungen |
Lösung |
Übungsaufgaben: Lösung zu Aufgabe 4
Da es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades handelt, deren Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft, macht man für die Funktionsgleichung den Ansatz: f(x) = a·x4 + b·x2 + c mit a, b, c ÎIR.
Die erste und die zweite Ableitung der Funktion
f zu f(x) = a·x4
+ b·x2 + c lauten
dann:
f
'(x) = 4·a·x3
+ 2·b·x
und f
'' (x) = 12·a·x2
+ 2·b
Damit ergibt sich:
(1) f(2) = 0 Û
a·24
+ b·22 + c = 0 Û
16a + 4b + c = 0
(2) f '(2) = 2 Û 4·a·23
+ 2·b·2
= 2 Û
32a + 4b = 2
(3) f ''(-1) = 0
Û 12·a·(-1)2
+ 2·b
= 0 Û
12a + 2b = 0
DERIVE liefert als Lösung dieses Gleichungssystems:
(Dazu verwendet man den Befehl SOLVE([F(2)=0,F'(2)=2,...],[a,b,c])
oder man löst das obige Gleichungssystem mit dem Befehl Solve > System.)
Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File
Übungsaufgabe
4.mth
im Anhang!
Ausdruck des Graphen zu f:
|
|
