Übungsaufgaben: Lösung zu Aufgabe 20

Da es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades handelt, macht man für die Funktionsgleichung den Ansatz:  f(x) = a·x⁴ + b·x³ + c·x² + d·x + e  mit a, b, c, d, e Î IR.

Die erste Ableitung der Funktion f zu lautet dann:   f '(x) = 4·a·x³ + 3·b·x² + 2·c·x + d
 
Aus dem Text bzw. dem Schaubild ergibt sich:

(1) f(0) = 4
(2) f(2) = 1
(3) f(4) = 0
(4) f '(0) = -1 (wegen tangentialem Übergang bei A; Steigung d. Geraden g(x)= - x + 4 durch A und B ist m = -1)
(5) f '(4) = -1 (wegen tangentialem Übergang bei B; m = -1)

Entweder benutzt man nun den SOLVE-Befehl in DERIVE :

SOLVE([f(0)=4, f(2)=1, f(4)=0, f '(0)= -1, f '(4)=0],[a,b,c,d,e])

oder man löst das vollständige lineare Gleichungssystem mit dem Befehl SOLVE > SYSTEM:

(1) f(0) = 4 Û a·0⁴ + b·0³ + c·0² + d·0 + e = 4
(2) f(2) = 1 Û a·2⁴ + b·2³ + c·2² + d·2 + e = 1
(3) f(4) = 0 Û a·4⁴ + b·4³ + c·4² + d·4 + e = 0
(4) f '(0) = -1 Û 4·a·0³ + 3·b·0² + 2·c·0 + d = - 1
(5) f '(4) = -1 Û 4·a·4³ + 3·b·4² + 2·c·4 + d = - 1

DERIVE liefert als Lösung dieses Gleichungssystems:
                             
Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File  Übungsaufgabe 20.mth  im Anhang!
Ausdruck des Graphen zu f zusammen mit der Geraden g(x)= - x + 4   durch A und B:

Bei der Zeichnung wurde die CHI-Funktion verwendet.