Rutsche: Lösung zu Aufgabe 2.1

Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion f   3. Grades lautet:
f(x)=a·x³ + b·x² + c·x + d    mit a, b, c, d ÎIR.
Þ f '(x) = 3ax² + 2bx + c     

Aus den vier Bedingungen ergibt sich folgendes lineare Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten:

(1) f(0) = 4 Û a·0³ + b·0² + c·0 + d = 4 Û d= 4
(2) f(4) = 0 Û a·4³ + b·4² + c·4 + 4 = 0 Û 64a + 16b + 4c + 4 = 0
(3) f '(0) = 0 Û 3a0² + 2b·0 + c = 0 Û  c = 0  
(4) f '(4) = 0 Û 3a4² + 2b·4 + c = 0 Û 48a + 8b + c = 0

Vereinfacht man das Gleichungssystem weiter, so ergibt sich (nach Vertauschung der Reihenfolge):

(1) d = 4
(2) c = 0
(3) 64a + 16b = - 4
(4) 48a + 8b = 0