Alle Übungsaufgaben auf einen Blick (für Ausdruck auf Papier):

Innermathematische Steckbriefaufgaben:

1.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f   3. Grades hat in P(1 / 4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q(0 / 2) einen Wendepunkt.

2.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  3. Grades verläuft durch P(0 / -5) und Q( 1 / 0) und er berührt die x-Achse im Punkt R(5 / 0).

3.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  5. Grades ist symmetrisch zum Ursprung und besitzt in P(-1/ 1) einen Wendepunkt mit der Steigung 3.

4.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Im Punkt P(2 / 0) hat der Graph zu f die Steigung 2 und im Punkt W(-1 / y_w) einen Wendepunkt.

5.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  3. Grades verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Im Punkt P(1 / 1) hat die Funktion ein Extremum und im Punkt W(3 / y_w) einen Wendepunkt.

6.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  4. Grades hat im Ursprung des Koordinatensystems die Wendetangente mit der Gleichung y=x und im Punkt P(2 / 4) die Steigung Null.

7.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und verläuft durch den Punkt P(1 / -1). An der Stelle x=2 liegt ein Extremwert vor.

8.) Eine ganzrationale Funktion f  3. Grades hat an der Stelle x = - 1 eine Nullstelle. Der Graph zu f schneidet die y-Achse bei 2 und berührt die x-Achse an der Stelle x=2.

9.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Er verläuft ferner durch den Ursprung des Koordinatensystems und schneidet die x-Achse an der Stelle x=3 mit der Steigung m= - 48.

10.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  5. Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. In N(0 / 0) ist die Steigung der Tangente an den Graphen 2 und im Punkt W(-1 / 0) besitzt der Graph einen Wendepunkt.

Übungsaufgaben aus dem Bereich der Physik:

11.) Auf einer Teststrecke wurde bei trockener Fahrbahn ein Pkw aus verschiedenen Geschwindigkeiten abgebremst und die Länge des Bremswegs gemessen:

Welche ganzrationale Funktion f beschreibt den Zusammenhang der Maßzahlen?
Lösen Sie mit DERIVE !
Zeichnen Sie den Graphen zu f im Graphikfenster von DERIVE im Bereich [20; 100] !
Wie lang ist der Bremsweg bei 90 km/h ? Lösen Sie mit DERIVE !

12.) Der Benzinverbrauch eines Autos hängt von seiner Geschwindigkeit ab.
Bei der Verbrauchsuntersuchung für einen Lieferwagen messen die Ingenieure bei verschiedenen konstanten Geschwindigkeiten den Benzinverbrauch in Liter für je 100 gefahrene Kilometer:

Aus der Erfahrung ist bekannt, dass die Abhängigkeit des Benzinverbrauchs von der Geschwindigkeit durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades beschrieben werden kann.

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für die Verbrauchsfunktion V mit DERIVE ( x bezeichnet die Geschwindigkeit, V(x) die Maßzahl für den Verbrauch) !
Stellen Sie auch die Verbrauchskurve, d.h. den Graphen zu V, im Graphikfenster von DERIVE dar. Dabei soll in der Zeichnung berücksichtigt werden, dass der Lieferwagen eine Höchstgeschwindigkeit von 150 km/h hat.

b) Ermitteln Sie mit DERIVE die Geschwindigkeit des Lieferwagens, bei der der Benzinverbrauch am geringsten ist! Wie hoch ist dann der geringste Benzinverbrauch und wieviel Liter Benzin verbraucht der Lieferwagen bei Tempo 150 km/h auf je 100 gefahrenen Kilometer?

Übungsaufgaben aus dem Bereich der Biologie

13.) Viele natürliche Ressourcen wie z. B. Fisch- oder Waldbestände erneuern sich von selbst. Waldbesitzer oder Fischzüchter möchten aber einen möglichst großen Ertrag erwirtschaften. Dabei ist darauf zu achten, dass sie nicht zu viel Holz schlagen oder zu viele Fische der Zucht entnehmen.
Unten ist nun eine sogenannte Reproduktionskurve einer Art abgebildet. Sie ist der Graph einer Funktion f, die der Populationsgröße der gegenwärtigen Generation die Populationsgröße der darauffolgenden Generation zuordnet. Auch wenn diese Kurve von Art zu Art variiert, so hat sie unter vernünftigen biologischen Annahmen immer eine ähnliche Form wie die abgebildete Reproduktionskurve für einen Fischbestand.
Bei einer wirtschaftlichen Nutzung des Fischbestands versucht der Züchter nun, jährlich eine möglichst konstante Entnahme E zu tätigen. Da die Fischpopulation in einem Jahr von x auf f(x) zunimmt, beträgt dann der natürliche Zuwachs f(x) - x. Daher wird eine konstante Entnahme E erreicht, wenn gilt: E = f(x) - x.

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe von DERIVE die Gleichung der Reproduktionskurve f unter Beachtung folgender Tabelle ( f soll eine ganzrationale Funktion 3. Grades sein):

Beachte: Für 10 Tonnen liegt ein lokales Extremum vor!

(b) Bestimmen Sie mittels DERIVE das Maximum (in t) der Entnahme E, die der Züchter dem Bestand entnehmen darf ! Wie groß (in t) darf also die Population werden?

14.) Um die Bekämpfung von Schadinsekten zu optimieren, beobachtet man in gleichen Zeitintervallen (z. B. zwei Wochen) die Dichte des Befalls, indem man die Anzahl der Insekten pro dm² großflächig auszählt und dann den Mittelwert bildet. Diese Werte trägt man dann in eine Tabelle ein:

(a) Bestimmen Sie aus den Tabellenwerten mit Hilfe von DERIVE die Gleichung einer ganzrationalen Funktion f   3. Grades, die den zeitlichen Verlauf des Schadinsektenbefalls annähert!
Zeichnen Sie dann im Graphikfenster von DERIVE den Graphen zu f im Bereich 0,4 £ x £ 5 !

(b) Zu welchem Zeitpunkt war im Beobachtungszeitraum ein maximaler Befall mit Schadinsekten zu verzeichnen?
Lösen Sie mit DERIVE !

Übungsaufgaben aus dem Bereich der Medizin

15.) Um die Wirkung von Medikamenten beurteilen zu können, wäre es wünschenswert ihre Konzentration im Organismus zu kennen. Da die Konzentration in den einzelnen Organen jedoch nur schwer messbar ist, behilft man sich, indem man die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut oder im Urin misst. Bei der Blutkonzentration handelt es sich genauer um die Konzentration im Blutplasma (Plasmakonzentration). Unter Plasma versteht man das Blut ohne seine korpuskulären Bestandteile, d.h. ohne rote oder weiße Blutkörperchen und ohne Blutplättchen.
Hier soll nun die Plasmakonzentration von Iboprofen untersucht werden, welches ein weit verbreitetes Schmerzmittel ist. Da bei diesem Wirkstoff je nach chemischer Verbindung, in der es verabreicht wird, die Konzentrationskurve (auch Plasmaspiegel genannt) stark variiert, ist die Untersuchung hier von besonderem Interesse.
Die genaue Konzentration ist von Patient zu Patient verschieden. Daher soll im Folgenden die durchschnittliche Plasmakonzentration bei Gabe von 400 mg Ibuprofen betrachtet werden.