Aufgabenbeispiel zum Thema Polstelle, Lücke, Stetigkeit

Ermittlung des Definitionsbereiches:

Der Nenner des Bruches darf nicht Null werden. Eine Division durch Null ist nicht definiert.

=>

D = R \ { -1, 3}

Unterscheidung Polstelle/Lücke:

=> Lücke

=> Polstelle

Grenzwerte x-> +/- unendl:

Konvergenznachweis für g2:

für alle

mit e Element R*+

Für x-> - unendl. ist dieser Nenner immer negativ!!!!

Also ist g2 GW für x-> - unendl. für f(x)

Grenzwertberechnung für x -> xo:

Stetigkeit und stetige Fortsetzung:

Die Lücke kann "repariert", d.h. geschlossen werden. Bem: f* = f_neu

= stetige Fortsetzung

für x ungleich -1 und 3
f*(x) = {

für x = -1

Graph:

Beachte das Verhalten bei der Lücke xo = -1!!!!! (g₃)
Es liegt eine waagerechte Asymptote vor bei y = 4 (g₁=g₂=4)
Es liegt eine senkrechte Asymptote vor bei x0 = 3 (g₃= +/- unendlich)