Rechnen mit komplexen Zahlen

Um mit den komplexen Zahlen die Grundrechenarten (+ / - / · / : ) sinnvoll durchführen zu können, sollte die verschiedenen Zahlendarstellungen und deren Umrechnungen sicher beherrscht werden.

algebraische Zahlendarstellung: z = Re(z) +j Im(z)

polare Zahlendarstellung: z = |z| / φ und Eulersche Zahlendarstellung: z = |z|·e^jφ .

Zunächst sollte bekannt sein: |z|² = Re(z)² + Im(z)²;     sin(φ) = Im(z)/|z| ;    cos(φ)= Re(z)/|z| und    tan(φ) = Im(z)/Re(z).

Addition und Subtraktion:
Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen ist als "geometrische Addition" interpretiert worden. Hier werden bei der Berechnung Betrag und Winkel berücksichtigt. In der Physik ist so etwas beim "Kräfteparallelogramm" umgesetzt worden.

Merke: Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen erfolgt in der algebraischen Zahlendarstellung !!!!!!!!, da hier die "alten bekannten Regeln der Algebra" umgesetzt werden können.

Beispiele:

• z = z₁ + z₂ = (3 + j4) + (-4 + j6) = 3 +j4 -4 +j 6 = (3-4) + j(4+6) = -1 + j10

z = -1 + j10
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-> Übungen

• z = z₁ - z₂ = (3 + j4) - (-4 + j6) = 3 +j4 + 4 - j 6 = (3-(-4=) + j(4- 6) = 7 - j2

z = 7 - j2
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Nicht immer liegen die zu addierenden bzw. subtrahierenden komplexen Zahlen in der dazu notwendigen Zahlendarstellung vor. Es sind dann Umrechnungen vorzunehmen. Hier ist vor allem die goniometrische Zahlendarstellung sehr hilfreich.

goniometrischen Zahlendarstellung: z = |z|·(cos(φ) + j sin(φ))

Hiermit können problemlos die polare/ Eulersche Zahlendartsellung in die algebraische Zahlendarstellung umgewandelt werden.

• z = 3 /60° = 3· e ^j60° = 3(cos(60°)+j sin(60°) =3( 0,5 + j 0,866) = 1,5 + j 2,589

z = 1,5 + j 2,589
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• z = 5 /-75° = 5 · e ^-j75° = 5(cos(-75°)+j sin(-75°) =5( 0,259 + j (-0,966) = 1,294 - j 4,83

z = 1,294 - j 4,83
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Schwieriger sind die Umrechnungen von Mischformen.

Beispiel: z = 3 +j x mit x aus R und |z| = 5

Hier gibt es zwei Möglichkeiten: x= + 4 oder x = -4 => z = 3 + j4 = 5 /53,1° = 5 e ^j53,1° oder z =3 - j4 = 5 /-53,1° = 5 e ^-j53,1°

An dieser Stelle kann darauf verzichtet werden. Zur Vertiefung finden Sie hier einige Übungen:

Multiplikation und Division:
Die Multiplikation komplexer Zahlen ist als "Drehstreckung" interpretiert worden. Hier werden bei der Berechnung Betrag und Winkel berücksichtigt.

Merke: Die Multiplikation und Division komplexer Zahlen erfolgt in der Eulerschen Zahlendarstellung (gleichwertig mit polaren Zahlendarstellung) !!!!!!, da hier die "alten bekannten Regeln der Potenzrechnung " umgesetzt werden können.

Beispiele:

• z = z₁ / z₂ = (3 + j4) / (-4 + j6)
  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -> Nebenrechnungen: 3 + j4 = 5 /53,13° = 5· e ^j53,13°
  ----------------------------------------------------------- 4 + j6 = 7,211 /123,69° = 7,211 · e ^j123,69° -> siehe Bemerkung

z = z₁ / z₂ = (3 + j4) / (-4 + j6) = (5· e ^j53,13°) / (7,211 · e ^j123,69°) = (5 / 7,211) ·e ^{j(53,13°- 123,69°)}

z = 0,693·e ^{j(- 70,56°)} = 0,693·e ^{-j 70,56°} = 0,231 - j 0,654 (Umrechnung mit der goniometrischen Form)
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• z = z₂ / z₁ = (-4 + j6) / (3 + j4) = (7,211 · e ^j123,69°) / (5· e ^j53,13°) = (7,211 /5 ) ·e ^{j(123,69° - 53,13°)}

z =1,442·e ^{j( 70,56°)} = 1,442·e ^{j 70,56°} = 0,48 + j 1,36 (Umrechnung mit der goniometrischen Form)
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Bemerkung: Da die Winkelfunktionen periodische Funktionen sind, ist die zugehörige Umkehrfunktion nur für Hauptwerte definiert. Winkelwerte für Zeiger im 2. und 3. Quadraten sind mit den Umkehrfunktionen (sin^-1, cos^-1, tan^-1) nicht mit dem TR zu bestimmen. Wichtig ist zudem, dass der Real- und Imaginärteil mit dem Vorzeichen in die Rechnung einfließt.
Mit dem TR werden bei der Umkehrfunktion arcsin (= sin^-1) nur die Hauptwerte -90° bis +90° eindeutig zugeordneten. Mit dem TR können mit sin^-1 auch nur diese eindeutig ausgewiesen werden. Verwenden wir zur Winkelbestimmung die Umkehrfunktion sin^-1 sind die Zeiger im 1. und 4. Quadraten eindeutig bestimmt. Bei der Umkehrfunktion tan^-1 ist auch nur dieser Bereich zu erfassen.
Mit dem TR werden bei der Umkehrfunktion arccos (= cos^-1) nur die Hauptwerte 0° bis 180° eindeutig zugeordent. Mit dem TR können mit cos^-1 auch nur diese eindeutig ausgewiesen werden. Verwenden wir zur Winkebestimmung die Umkehrfunktion cos^-1sind die Zeiger im 1. und 2. Quadraten eindeutig.

Offensichtlich ist der 3. Quadrat nicht direkt erfassbar.
In diesem Quadranten liegen die komplexen Zeiger/Zahlen mit negativem Real- und Imaginärteil.

-> Bei Verwendung von sin^-1 muss der errechnete Winkel von 180° subtrahiert werden.
-> Bei Verwendung von cos^-1 muss der errechnete Winkel von 360° subtrahiert werden.
-> Bei Verwendung von tan^-1 muss der errechnete Winkel zu 180° addiert werden.

Tipp: Skizzieren Sie als NR die Zeigerdarstellung in der Gauss'schen Zahlenebene und prüfen Sie die eigene Rechnung.

Beispiel: Für z = -3 - j4 gilt:

Der Betrag ist immer positiv. |z| = ((-3)² + (-4)²)^1/2 = wurzel((-3)² + (-4)²) = 5

φ = sin^-1(-4/5) = -53,13° ------> φ = 180° - (-53,13°) = 180° + 53,13° = 233,13° -----------(= 233,13° - 360° = -126,87°)

oder φ = cos^-1(-3/5) = 126,78 ° ------> φ= 360° - 126,78° = 233,13°
oder φ = tan^-1(-4/-3) = 53,13° --------> φ= 180° + 53,13° = 233,13°

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Übungen (algebraische Darstellung, Euler'sche Darstellung, TR-Problem bei der Umwandlung)!!!!

Übungen (Rechnungen)

Für viele Rechnungen ist es wichtig, die Grundlagen nicht zu vergessen. Es gilt: -----j² = -1

Übungaufgaben:
- Übung 1