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Erwartungswert/ Standardabweichung

Zufallsgrößen sind eindeutig bestimmt, wenn man ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung kennt. Diese Angabe ist manchmal recht umständlich, so dass man versucht, die Informationen, die in der Verteilung einer Zufallsgröße stecken, ähnlich wie bei der beschreibenden Statistik durch charakteristische Zahlenwerte zu verdeutlichen.

Kenngrößen: Erwartungswert / Varianz und Standardabweichung

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Darstellung der Kenngrößen für eine binomialverteilte Zufallsgröße:

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Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

Für den Erwartungswert der Zufallsgröße X (Anzahl der Erfolge beim n-stufigen Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p) gilt:

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Bei dem Ausgangsbeispiel gilt p=0,056 und n=244. Der Erwartungswert beträgt dann . Dort liegt auch das Maximum der Binomialverteilung.

Häufigkeitsinterpretation des Erwartungswertes: Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist ein Wert, den man bei häufiger Versuchsdurchführung ungefähr als Mittelwert (arithmetische Mittel) erhalten wird.

Allgemeine Definition:

Eine Zufallsgröße X kann die Werte annehmen. Dann heißt die Summe von Produkten Erwartungswert der Zufallsgröße X und wird mit oder auch bezeichnet.

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Man kann die Formel des Erwartungswertes für binomialverteilte Zufallsgrößen aus der Definition des Erwartungswertes herleiten.

Varianz und Standardabweichung

Wählt man bei einer festen Erfolgswahrscheinlichkeit p immer größere Stichprobenumfänge n, so erkennt man, dass die Histogramme immer flacher und breiter werden, d.h. die Radien um den Erwartungswert, die die gleiche Wahrscheinlichkeiten haben, werden mit größerem n immer größer.

Eine Zufallsgröße X kann die Werte annehmen. Dann heißt die Summe von Produkten Varianz der Zufallgröße X und wird mit oder auch bezeichnet. Die Quadratwurzel aus der Varianz einer Zufallsgröße X heißt Standardabweichung der Zufallsgröße X , d.h. .