Inhaltliche Voraussetzungen

Diese Lerneinheit setzt die Kenntnis affiner Abbildungen und die Berechnung von Bildpunkten durch eine Matrix voraus. Darüberhinaus sollte die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme im Unterricht schon behandelt worden sein.

Ist die Parameterdarstellung von Geraden im noch nicht thematisiert worden, ergibt sich hier am Ende der Einheit ein sinnvoller aus dem Unterricht gewachsener Einstieg. Es muss in diesem Falle dann aber über die Lerneinheit hinaus vertieft behandelt werden.

Inhalte der Lerneinheit

• Eigenwert
• Eigenvektor
• Cramersche Regel
• Determinaten
• charakteristisches Polynom
• Fixgeraden
• Verkettung von Abbildungen
• inverse Matrix
• Fixpunktgeraden
• Konvergenz von Punktfolgen

Erläuterungen zu der Abfolge der Inhalte

Diese Lerneinheit ist so konzipiert, dass die oben skizzierten mathematischen Inhalte an Hand einer konkreten Aufgabe schrittweise entwickelt werden. Das geschieht immer dann, wenn es von der Problemstellung her sinnvoll und notwendig erscheint. Es wird bewusst darauf verzichtet ein Vorratswissen an den Anfang zu stellen.

Die Einstiegsaufgabe besteht aus 4 Teilen, die von den mathematischen Inhalten aufeinander aufbauen:

• Im 1.Teil sollen die SchülerInnen die gegebene Abbildung (Streckspiegelung) interaktiv erforschen und dabei ihre Kenntnisse im Umgang mit Abbildungen auffrischen. Darüberhinaus sollte am Ende die Erkenntnis stehen, dass es gewisse "Vorzugsrichtungen" bei dieser Abbildung gibt, die durch Geraden beschrieben werden können.

• Im 2.Teil wird die Eigenwerttheorie entwickelt. Dabei werden die Begriffe Eigenwert, Eigenvektor, charakteristisches Polynom und Fixgerade definiert. Auf dem Weg zum charakteristischen Polynom werden zwei verschiedene Lösungswege aufgezeigt ( Cramersche Regel (Determinaten) , Gauß-Verfahren). Darüberhinaus gibt es noch die Möglichkeit zwischen allgemeinem Lösungsverfahren und konkreter Lösung zu wählen.

• Im 3. Teil wird untersucht, welche Eigenschaften die Abbildung hat. Insbesondere wird ihre Wirkung auf Punkte untersucht, die nicht auf den Fixgeraden liegen.
• Der 4. Teil geht der Frage nach, welche elementaren Abbildungen hinter der Streckspiegelung stecken und wie ihre Abbildungsmatrizen aussehen. Dazu wird die inverse Matrix eingeführt und ihre Berechnung erläutert. Das ist für den konkreten zweidimensionalen Fall nicht so schwer und kann in Form einer Formel angegeben werden. Es wird jedoch auch ein Lösungsverfahren für den dreidimensionalen Fall angeboten.

Am Ende stehen vier Übungsaufgaben mit Lösungen, die analog zum Lehrgang zu bearbeiten sind. Dabei werden die Abbildungsmatrizen so variert, dass Abbildungen mit zwei, einem und keinem Eigenwert auftreten. Diese Aufgaben bieten den SchülerInnen die Möglichkeit, das Gelernte zu üben und zu festigen.

Die weiterführende Aufgabe hat als Abbildungsmatrix A eine stochastische Matrix mit größtem Eigenwert 1; d.h. konvergiert gegen eine Grenzmatrix G. Damit kann für den der stabile Zustandsvektor (aus Lehrgang 1) auch geometrisch interpretiert werden. Da jeder Punkt der Ebene als Linearkombination der zwei Eigenvektoren dargestellt werden kann, überträgt sich die Eigenschaft der Eigenvektoren auf jeden Ortsvektor.

Hier lässt sich eine Brücke zwischen den Lehrgängen 1 und 2 bauen.

Systemvoraussetzungen

Der Einsatz dieser Lerneinheit setzt voraus, dass über die gesamte Zeit die Arbeit am Computer gegeben sein muss.

Für einige Fragestellungen, z.B. Iteration von Abbildungen, ist es zwingend notwendig mit dem Abbildungsapplet zu arbeiten oder ein Computer-Algebra-System (CAS) einzusetzen. Als CAS bieten sich z.B. TI 89, TI92, Derive, Mathcad etc an.

Unterrichtlicher Einsatz (ca. ? h)

Diese Lerneinheit ist so aufgebaut, dass sich die SchülerInnen selbständig und selbsttätig mit ihr auseinander setzen können. Der Lehrer übernimmt dabei die Aufgabe des Ratgebers. Es hat sich in den meisten Fällen als sinnvoll erwiesen, wenn die SchülerInnen in Kleingruppen (2-3 Personen) an der Lerneinheit arbeiten. Doch es ist auch Einzelarbeit möglich.

Falls die SchülerInnen noch nicht gewohnt sind mit solchen Lernumgebungen zu arbeiten, ist es unbedingt notwendig darauf hinzuweisen, dass sie intensiv die Teile durcharbeiten und sich natürlich auch Aufzeichnungen machen müsssen.

Falls der Kurs sehr inhomogen ist, kann auch bei Bedarf binnendifferenziert werden, indem der /die LehrerIn die SchülerInnen, die bei bestimmten Problemstellungen nicht weiterkommen, als Gruppe sammelt und mit ihnen die Probleme bespricht, während die andern selbständig an der Lerneinheit weiterarbeiten.

Arbeit zu Hause