Inhaltliche Voraussetzungen

Die inhaltlichen Voraussetzungen für diese Lerneinheit gehen im Prinzip nicht über die Mathematik der Mittelstufe hinaus, d.h. sie kann ohne spezielle Vorkenntnisse eingesetzt werden.

Ist die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme im Unterricht schon behandelt worden, gilt das oben gesagte vorbehaltlos.

Ist allerdings die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme noch nicht thematisiert worden, ergibt sich hier am Ende der Einheit ein sinnvoller aus dem Unterricht gewachsener Einstieg.

• Es muss in diesem Falle dann aber über die Lerneinheit hinaus vertieft behandelt werden.
• Alternativ kann die Lösbarkeit aber auch im Rahmen eines Exkurses (Exkurs: Lineare Gleichungssysteme ) innerhalb dieses Lehrganges thematisiert werden.

Inhalte der Lerneinheit

• Vektor
• Matrix ( speziell: stochastische Übergangsmatrix)
• Matrizenmultiplikation (Matrix x Vektor )
• Baumdiagramm
• Matrizenmultiplikation (Matrix x Matrix)
• Potenzen von Matrizen
• Einheitsmatrix
• Matrizenaddition
• Gauss-Verfahren
• Grenzmatrix / Grenzvektor
• Eigenwerte, Eigenvektoren

Erläuterungen zu der Abfolge der Inhalte

Diese Lerneinheit ist so konzipiert, dass die oben skizzierten mathematischen Inhalte an Hand einer konkreten Aufgabe schrittweise entwickelt werden. Das geschieht immer dann, wenn es von der Problemstellung her sinnvoll und notwendig erscheint. Es wird bewusst darauf verzichtet ein Vorratswissen an den Anfang zu stellen. Die Einstiegsaufgabe besteht aus 3 Teilen, die sowohl von der Problemstellung als auch von den mathematischen Inhalten aufeinander aufbauen:

• Der 1.Teil beschäftigt sich mit den Definitionen von Vektor und Matrix sowie der Multiplikation von Matrix und Vektor. Die gelernte Multiplikation kann interaktiv geübt und gefestigt werden.
• Im 2.Teil steht die Matrizenmultiplikation im Vordergrund, die mit Hilfe der Pfadregel im Baumdiagramm erklärt und auch allgemein hergeleitet wird. Applets bietet die Möglichkeit einer interaktiven Übungsphase.
• Der 3. Teil führt dann über die Betrachtung des Systems für längere Zeiträume auf das Problem der Bestimmung eines stabilen Vektors bzw. der Grenzmatrix. Innermathematisch bedeutet dies, den Eigenvektor zum Eigenwert 1 zu bestimmen. Dieses wiederum führt zur Einheitsmatrix, zur Matrizenaddition und zum Lösen linearer Gleichungssysteme und damit zum Gauss-Verfahren. Auch hier gibt es wieder die Möglichkeit sowohl die Matrizenaddition als auch das Gauss-Verfahren interaktiv zu üben.

Am Ende eines jeden Teiles gibt es einen Rückblick auf das bisher geleistete. Es gibt bislang zwei Übungsaufgaben, die analog zu bearbeiten sind. Dabei wird die Aufgabenstellung in jedem Teilbereich entsprechend der neuen Inhalt erweitert. Diese Aufgaben bieten den SchülerInnen die Möglichkeit, das Gelernte zu üben und zu festigen. Zu diesen Aufgaben gibt es auch Lösungen, die mit Absicht nur in einem Lösungspool stehen.

Die weiterführende Aufgabe ist einerseits eine Reduktion, da nur 2 Zustände betrachtet werden. Andererseits ermöglicht sie gerade dadurch die Visualisierung der Folge von Zustandsvektoren bis hin zum Grenzvektor in der Zeichenebene des . Eine interaktive Hilfestellung bietet hier ein Applet. Die Folge aller Zustandsvektoren, die von Vektoren mit konstanter Elementesumme ausgehen, liegen auf ein und derselben Gerade in der Ebene. Die Folgen von Vektoren mit unterschiedlicher Elementesumme liegen auf parallelen Geraden. Die Grenzvektoren zu beliebigen Anfangsvektoren liegen ebenfalls wieder auf einer Gerade.

Auf der Grundlage dieser Erkenntnis bieten sich zwei Erweiterungsmöglichkeiten an:

Systemvoraussetzungen

Der Einsatz dieser Lerneinheit setzt voraus, dass über die gesamte Zeit die Arbeit am Computer gegeben sein muss.

Für einige Fragestellungen, z.B. Potenzen von Matrizen, ist es zwingend notwendig ein Computer-Algebra-System (CAS) einzusetzen, für die anderen zumindest hilfreich. Als CAS bieten sich z.B. TI 89, TI92, Derive, Mathcad etc an.

Falls die SchülerIinen und Schüler kein CAS zur Verfügung haben, sollten sie die aufwendigeren (z.B. A10, A15,....) Matrizenoperationen auf keinen Fall von Hand durchführen. In diesem Fall gibt es immerhin noch die Möglichkeit in Form einer Demonstration mit einem portablen Computer das Verhalten der Matrizen und Vektoren zu zeigen.

Unterrichtlicher Einsatz (ca. 12 h) (ohne Thematisierung der Gleichungssysteme und der Geraden)

Diese Lerneinheit ist so aufgebaut, dass sich die SchülerInnen selbständig und selbsttätig mit ihr auseinander setzen können. Der Lehrer übernimmt dabei die Aufgabe des Ratgebers. Es hat sich in den meisten Fällen als sinnvoll erwiesen, wenn die SchülerInnen in Kleingruppen (2-3 Personen) an der Lerneinheit arbeiten. Doch es ist auch Einzelarbeit möglich.

Falls die SchülerInnen noch nicht gewohnt sind mit solchen Lernumgebungen zu arbeiten, ist es unbedingt notwendig darauf hinzuweisen, dass sie intensiv die Teile durcharbeiten und sich natürlich auch Aufzeichnungen machen müsssen.

Falls der Kurs sehr inhomogen ist, kann auch bei Bedarf binnendifferenziert werden, indem der /die LehrerIn die SchülerInnen, die bei bestimmten Problemstellungen nicht weiterkommen, als Gruppe sammelt und mit ihnen die Probleme bespricht, während die andern selbständig an der Lerneinheit weiterarbeiten.

Arbeit zu Hause