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Lernen an Stationen in der Sekundarstufe II
Matrizenrechnung
Zielgruppe: Jahrgangsstufe 12
Inhaltliche Voraussetzungen: Vektorbegriff, geometrische Abbildungen (Kenntnisse aus der Sek.I)
Neu zu erarbeitende Inhalte: Addition von Matrizen, Vervielfachen von Matrizen, Matrix-Vektor-Multiplikation, Matrizenmultiplikation, Potenzen von Matrizen, Bestimmung der inversen Matrix, Anwendungen.
Methodische Voraussetzungen: Umgang mit einem Computeralgebrasystem (z.B. Derive oder TI-89)
Gliederung in 4 Aufgabengruppen:
| Gruppe 1: Einführung in die Matrizenrechnung |
Gruppe 2: Geometrie der Matrizen
| Gruppe 3: Prozesse und Matrizen |
| Gruppe 4: Wiederholung der Begriffe |
Aus jeder Gruppe sind mindestens drei Aufgaben zu bearbeiten.
Um zu gewährleisten,
dass alle Rechenoperationen erarbeitet werden, müssen jeweils eine
Station mit dem Symbol 
.
, eine Station mit dem Symbol 
,
eine Station mit dem Symbol 
und eine Station mit dem Symbol 
bearbeitet werden.
Die Lösungen liegen jeweils an der Station zur eigenverantwortlichen Kontrolle und Hilfe bereit.
Die geeignete Arbeitsform an den einzelnen Stationen ist durch folgende Symbole angezeigt:
| Einzelarbeit |  |
| Partnerarbeit |  |
| Gruppenarbeit |  |
Die Schüler erhalten einen Laufzettel, auf dem sie notieren, welche Stationen sie bearbeitet haben. Dieser Laufzettel steht auch als Word-Dokument zur Verfügung.
Wichtiger Hinweis:
Einige Seiten wurden mit dem Programm MathView
( inzwischen unter dem Namen LiveMath vertrieben) erstellt. Damit die
Arbeitsblätter vom Browser verarbeitet werden können, muss zuerst
ein entsprechendes Plug-In installiert werden. Sie finden das Plug-In
unter dem folgenden Link: Plugin Mathview .
Das Plugin läuft am besten unter Netsscape, allerdings funktioniert
das Javascript, das bei zwei der Aufgaben (bei den Stationen 8 und 10)
benutzt wird, unter Netscape nicht einwandfrei.
Stationsübersicht
| Gruppe 1: Einführung in die Matrizenrechnung |
Station 1: Produktions- und Auslieferungsplanung
- einfache Matrizenoperationen -
Voraussetzungen:
keine
Inhalt: Anhand von Bestellmatrizen wird das Vervielfachen einer Matrix
mit einer reellen Zahl und die Addition von Matrizen eingeführt und
eingeübt.
Medien: HTML- Datei mit
interaktiven Übungen
Station 2: Fit for
life - Einführung in die Matrizenmultiplikation
Voraussetzungen: Begriff des Vektors als Zahlentupel und der Matrix als
Zahlenschema
Inhalt: Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation und der Matrizenmultiplikation
anhand einer Anwendung aus dem Fitnessbereich
Medien: HTML- Datei
mit interaktiven Übungen
Station 3: Mehrstufige
Produktionsprozesse
Voraussetzungen: Begriff des Vektors als Zahlentupel und der Matrix als
Zahlenschema
Inhalt: Anwendung der Matrizenmultiplikation bei Materialverflechtungsprozessen,
Assoziativgesetz
Medien: HTML- Datei oder Karteikarte
Station 4: Auch
für Matrizen gelten Gesetze
Voraussetzungen: Matrix-Vektor-Multiplikation, Matrizenmultiplikation,
Matrizenaddition, Vervielfachen einer Matrix
Inhalt: Anhand von Beispielen werden Rechenoperationen geübt und
Gesetzmäßigkeiten vermutet. Das Assoziativgesetz wird exemplarisch
für 2x2-Matrizen bewiesen.
Medien: HTML- Datei oder Karteikarte
Station 5: Gauß'scher
Algorithmus- Vereinfachen von Matrizen
Voraussetzungen: keine
Inhalt: Idee des Gauß´schen Algorithmus, elementare Umformungen, Ansätze
zu Fragen der Diagonalisierbarkeit
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte
Station 6: Codierung
von Nachrichten
Voraussetzungen: Lösen
von linearen Gleichungssystemen (Gauß'scher Algorithmus)
Inhalt: Berechnung einer inversen Matrix, Einheitsmatrix
Medien:
HTML-Datei oder Karteikarte mit Aufgabenstellung
Gruppe 2: Geometrie der Matrizen
Station 7: Geometrische
Abbildungen in der Ebene
Voraussetzungen: Vektor-Begriff,
Grundkenntnisse geometrische Abbildungen
Inhalt: Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation durch
lineare Abbildungen
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte
Station 8: Elementare
Abbildungen in der Ebene
Voraussetzungen: Matrix-Vektor-Multiplikation
Inhalt: Veranschaulichung elementarer Abbildungen der Ebene, die durch
Matrizen gegeben werden.
Medien: HTML-Datei, laminiertes Koordinatensystem
Station 9: Eine
Drehung im Raum
Voraussetzungen: Matrix-Vektor-Multiplikation, Begriff der Abbildungsmatrix,
Kenntnis der wichtigsten Abbildungsmatrizen in der Ebene, Gauß Algorithmus
Inhalt: Bestimmung der Matrix einer Abbildung im dreidimensionalen Raum
mit Hilfe der Matrix-Vektor-Multiplikation und des Gauß Algorithmus
Medien: HTML-Datei
Station
10: Grundlegende Elemente der Computergrafik - Abbildungen in der Ebene
durch Matrizen
Voraussetzungen: Matrix-Begriff, Matrizenmultiplikation, Darstellung von
ebenen Figuren durch Matrix ihrer Eckkoordinaten.
Inhalt: Durch Ausprobieren sollen die Abbildungsmatrizen für einfache
geometrische Abbildungen (Drehungen, Spiegelungen, Streckungen) gefunden
werden
Medien: HTML- Datei mit MathView- Plugin und interaktiven Übungen
Station 11: Matrixprodukt
und Abbildungen
Voraussetzungen: Begriff der Abbildungsmatrix, Kenntnis der
wichtigsten Abbildungsmatrizen in der Ebene, Matrizenmultiplikation.
Inhalt: Veranschaulichung des Matrixproduktes B*A in der Ebene durch die
Hintereinanderausführung von zwei Abbildungen, die durch die Matrizen
B und A gegeben sind.
Medien: HTML-Datei
Station 12: Umkehrabbildungen
Voraussetzungen: Matrizenmultiplikation, Kenntnis der wichtigsten Abbildungsmatrizen
der Ebene
Inhalt: Veranschaulichung von verketteten Abbildungen, Finden einer Umkehrabbildung,
Begriff der inversen Matrix
Medien: HTML- Datei mit MathView-Plugin
Station 13: Animation
durch Matrizen - Abbildungen in der Ebene durch Matrizen
Voraussetzungen: Matrix-Begriff, Matrizenmultiplikation, Darstellung von
ebenen Figuren durch die Matrix ihrer Eckkoordinaten.
Inhalt: Anhand von zwei vorgegebenen Animationen soll durch Ausprobieren
(Verändern einer vorgegebenen Matrix) erkannt werden, dass durch
wiederholte Multiplikation mit einer Abbildungsmatrix (Matrizenpotenz)
ein Bewegungsablauf erzeugt werden kann.
Medien: HTML- Datei mit MathView-Plugin
Station 14: Potenzen
von Matrizen
Voraussetzungen: Begriff der Abbildungsmatrix, Matrixmultiplikation, Abbildungsverkettung
durch Matrixmultiplikation, Kenntnis der wichtigsten Abbildungsmatrizen
in der Ebene
Inhalt: Mehrfache Verkettung einer Drehung in der Ebene
Medien: HTML-Datei
| Gruppe 3: Prozesse und Matrizen |
Station 15: Markoff-Kette
Voraussetzungen: Grundlagen der Matrizenrechnung
Inhalt: Einführung in die Beschreibung von Prozessen durch Matrizen. Anhand
der Kunden eines Bekleidungsunternehmens werden die grundlegenden Begriffe
Markoff-Kette, Übergangswahrscheinlichkeit, Übergangsmatrix, stochastische
Matrix und Grenzverteilung eingeführt.
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte; CAS notwendig .
Station 16: Biesbosch
Voraussetzungen: Grundlagen der Matrizenrechnung, Potenzen von Matrizen
Inhalt: Mithilfe der Matrizenrechnung werden die Veränderungen im holländischen
Naturschutzgebiet Biesbosch nach einem Dammbau und die Auswirkungen
möglicher Maßnahmen simuliert.
Medien: HTML-Datei mit MathView-Plugin
Station
17: Marktforschung
- Wandern von Kundenstämmen
Voraussetzungen:
Matrix-Vektormultiplikation, Matrizenmultiplikation.
Inhalt: Potenzen von Matrizen beschreiben Zustände in Prozessen. Hier
handelt es sich um "stochastische" Matrizen", mögliches Anschlussproblem:die
Abhängigkeit des Grenzprozesses vom Startwert.
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte.
Station 18: Schulfest
Voraussetzungen: Matrizenmultiplikation, stochastische Matrix, *vollständige
Induktion, inverse Matrix, Eigenwerte und Eigenvektoren
Inhalt: Anhand der Anwendungssituation eines Schulfestes werden die Veränderungen
der Besucherströme untersucht. In einem Teil mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad
wird die Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren und die Berechnung
einer inversen Matrix verlangt.
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte
Station 19: Evolutionäre
Algorithmen
Voraussetzungen: Grundlagen der Matrizenrechnung
Inhalt: An dem relativ einfachen und überschaubaren
Problem der Optimierung einer Konservendose werden die Grundideen der
in der industriellen Anwendung bedeutsamen Evolutionären Algorithmen eingeführt.
Medien: HTML-Datei und Excel-Dokument
| Gruppe 4: Wiederholung der Begriffe |
Station 20: Mindmap
- Matrizenrechnung
Voraussetzungen: Bearbeitung von mindestens 8 Stationen
Inhalt: Die in dem Lernzirkel erarbeiteten Matrizenoperationen werden
in einer Mindmap zusammengestellt. Zu jeder Operation muss ein geometrisches
Beispiel und ein Anwendungsbeispiel aus der Wirtschaft gefunden werden.
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte mit Mindmap
und Kärtchen mit Stichworten
zum Zuordnen
Station 21: Matrizen-Domino
Voraussetzungen: Bearbeitung von mindestens 8
Stationen
Inhalt: Die in dem Lernzirkel erarbeiteten Begriffe und Regeln müssen
sinnvoll zusammengesetzt werden.
Medien: Dominosteine und Aufgabenstellung.
