Ausgleichsgerade

Definition

Ist eine Folge (x1/y1), (x2/y2), ...,(xn/yn) von Beobachtungsdaten gegeben, so versteht man unter der Ausgleichsgeraden eine Gerade, die sich den Punkte möglichst gut "anpasst" bzw. zwischen den Punkten möglichst gut ausgleicht.

DERIVE und der TI-89 liefert die Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Bestimmung einer Ausgleichsgerade

Durch die Wertepaare (x1|y1), (x2|y2), ..., (xn|yn) ist in einem Koordinatensystem eine Punktwolke gegeben, zu der eine Ausgleichsgerade (y = mx + b, wobei die Koeffizienten m und b noch unbekannt sind) bestimmt werden soll.

Die Bedingung, dass die gegebenen Punkte in y-Richtung insgesamt möglichst wenig von der Ausgleichsgeraden abweichen sollen, führt mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate zu folgender Forderung:

soll einen minimalen Wert annehem. Die Funktion hängt von zwei Variablen (m,b) ab.

Eine weitere Bedingung ist, dass die Ausgleichsgerade durch den Mittelpunkt (auch Schwerpunkt) der Punktwolke verläuft.

Die Koordnaten des Schwerpunktes berechnent man:

und (arithmetische Mittel der x-Werte und y-Werte)

Also muss minimal werden. Der Term hängt nur noch von "m" ab.

Für die weitere Bearbeitung muss der Aufgaben muss man nicht wissen, wie man eine Ausgleichsgerade berechnet. Falls Interesse daran besteht, kann man im eingeführten Mathematikbuch nachschauen. Man findet die Inhalte im Index unter "Ausgleichsgerade" oder "Regressionsgerade".